《高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数讲义含解析新人教A选修1_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数讲义含解析新人教A选修1_1(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、33.2函数的极值与导数预习课本P9396,思考并完成以下问题 1函数极值点、极值的定义是什么?2函数取得极值的必要条件是什么?3求可导函数极值的步骤有哪些?1函数极值的概念(1)函数的极大值一般地,设函数yf(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值,记作y极大值f(x0),x0是极大值点(2)函数的极小值一般地,设函数yf(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值,记作y极小值f(x0),x0是极小值点极大值与极小值统称为极值点睛如何理
2、解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点(5)单调函数一定没有极值2求函数yf(x)极值的方法一般地,求函数yf(x)的极值的方法是:解方程f(x)0. 当f(x0)0时:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f
3、(x0)是极小值点睛一般来说,“f(x0)0”是“函数yf(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数yf(x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值,那么f(x0)0;反之,若f(x0)0,则点x0不一定是函数yf(x)的极值点1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案:(1)(2)(3)2下列四个函数:yx3;yx21;y|x|;y2x,其中在x0处取得极小值的是()ABCD答案:B3函数yx36x的极大值为()A4 B3 C3 D4答案:A4
4、. 函数f(x)x2cos x在上的极大值点为()A0 B. C. D.答案:B已知函数求极值典例求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R,f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0,得x(2x)ex0,解得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2因此当x0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)0;当x2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)4e2.求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域;(2)求方程f(x)0的根;(3)用方程f(x)0的根顺次将
5、函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格;(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况 活学活用求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3;(2)f(x)3ln x.解:(1)f(x)x22x3.令f(x)0,得x3或x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)极大值极小值所以x1是函数f(x)的极大值点,且f(x)极大值,x3是函数f(x)的极小值点,且f(x)极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0,),f(x),令f(x)0,得x1.当x变化时,f(x),f(x
6、)的变化情况如表所示:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值所以x1是函数f(x)的极小值点,且f(x)极小值3,无极大值点及无极大值已知函数的极值求参数典例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值,且f(1)1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由解(1)f(x)3ax22bxc(a0),x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系,得又f(1)1,abc1.由解得a,b0,c.(2)由(1)得f(x)x3x,f(x)x2(x1)(x1)令f(x)0,得x1或x1;令f(x)0,得1x1.函数f(x
7、)在区间(,1)和(1,)上是增函数,在区间(1,1)上是减函数因此,x1是函数的极大值点;x1是函数的极小值点由函数极值求参数值的注意点(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 活学活用已知函数f(x)x3x2ax1.(1)若函数的极大值点是1,求a的值;(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点,求a的取值范围解:(1)f(x)x22xa,由题意f(1)12a0,解得a3,则f(x)x22x3,经验证可知,f(x)在x1处取得极大值,故a3.(2)由题意,方程x22xa0
8、有一正一负两个根,设为x1,x2,则x1x2a0,故a的取值范围是(,0)函数极值的综合应用典例已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值,直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a,所以f(1)3(1)23a0,所以a1.所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.当x0;当1x1时,f(x)1时,f(x)0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示:因为直线ym与函数yf(x)的图象有
9、三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(3,1)一题多变1变条件若本例中条件改为“已知函数f(x)x3ax24”在x处取得极值,其他条件不变,求m的取值范围解:由题意可得f(x)3x22ax,由f0,可得a2,所以f(x)x32x24,则f(x)3x24x.令f(x)0,得x0或x,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0f(x)00f(x)4作出函数f(x)的大致图象如图所示:因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点,所以m的取值范围是.2变条件若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?解:由例题解析可知:当m3
10、或m1时,直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点;当m1时,直线ym与yf(x)的图象只有一个交点(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题,一般地,方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便 层级一学业水平达标1“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C
11、充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选B若函数f(x)在xx0处有极值,则一定有f(x0)0;反之,若f(x0)0,则函数f(x)在xx0处不一定有极值所以“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件,选B.2函数f(x)x2ln x的极值点为()A0,1,1 B.C D.,解析:选B由已知,得f(x)的定义域为(0,),f(x)3x,令f(x)0,得x.当x时,f(x)0;当0x时,f(x)0.所以当x时,f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为,无极大值点,选B.3已知函数yf(x),其导函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)()A在(,0)上为减函数 B在x
12、0处取极小值C在(4,)上为减函数 D在x2处取极大值解析:选C由导函数的图象可知:x(,0)(2,4)时,f(x)0,x(0,2)(4,)时,f(x)0,因此f(x)在(,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,)上为减函数,所以x0取得极大值,x2取得极小值,x4取得极大值,因此选C.4若函数f(x)2x33x2a的极大值为6,则a的值是()A0B1C5D6解析:选Df(x)2x33x2a,f(x)6x26x6x(x1),令f(x)0,得x0或x1,经判断易知极大值为f(0)a6.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()A.,0 B0,C,0 D0,解析:选Af(x)3x22pxq,由f(1)0,f(1)0得,解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1,易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.6函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析:f(x)3x26x,解方程f(x)3x26x0,得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,