《高中数学第三章变化率与导数专题突破五利用导数求切线方程学案(含解析)北师大版选修1_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章变化率与导数专题突破五利用导数求切线方程学案(含解析)北师大版选修1_1(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数f(x0)的几何意义为曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,所以利用导数解决相切问题是常用的方法下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳一、已知切点,求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f(x),并代入点斜式方程即可例1已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ex1x,则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_考点题点答案2xy0解析设x0,则x0,f(x)ex1x,因为f(x)为偶函数,所以f(x)ex1x,f(x)ex11,f(1)2,y22(x1),即y2x.点评本题可以先利用分段型奇偶性原则,求出函数的解析式,再求函数
2、切线,或者利用原函数与导函数的关系来求解跟踪训练1曲线y在点(1,1)处的切线方程为()Ayx2By3x2Cy2x3Dy2x1考点题点答案D解析由题意知,点(1,1)在该曲线上,又y,所以曲线在点(1,1)处的切线的斜率k2,故所求切线的方程为y12(x1),即y2x1.二、已知过某点,求切线方程过某点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法例2求过曲线f(x)x32x上的点(1,1)的切线方程考点题点解设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为f(x0)3x2.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0),即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1,1),所以1(x
3、2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1),或y,即xy20或5x4y10.点评可以发现直线5x4y10并不以(1,1)为切点,实际上是经过点(1,1),且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点跟踪训练2求过点(2,0)且与曲线f(x)相切的直线方程考点题点解设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为f(x0).所以切线方程为yy0(xx0),即y(xx0)又已知切线过点(2,0),代入上述方程,得(2x0)解得x01,y01,即切线方程为xy20.三、求两条曲线的公切线例3(2018河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线
4、yx3和yax2x9(a0)都相切(1)求切线方程;(2)求实数a的值考点题点解(1)因为yx3,所以y3x2,设过点(1,0)的直线与曲线yx3相切于点(x0,x),则在点(x0,x)处的切线斜率为k3x,所以切线方程为yx3x(xx0),即y3xx2x.又点(1,0)在切线上,所以3x2x0,解得x00或x0.故所求的切线方程为y0或yx.(2)由直线y0与曲线yax2x9相切可得方程ax2x90有一个实数根,此时24a(9)0,解得a;由直线yx与曲线yax2x9相切,两方程联立消去y,得ax23x0,此时94a0,解得a1.综上可得,a1或a.点评本例是先求过某点的切线方程,由切线与另
5、一曲线抛物线相切,利用判别式0即可求得参数跟踪训练3已知函数f(x)lnx,g(x)x2mx(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f(1),则m的值为()A1B3C4D2考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案D解析f(x),直线l的斜率为kf(1)1,又f(1)0,切线l的方程为yx1.g(x)xm,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),则有x0m1,y0x01,y0xmx0,m0,于是解得m2.1函数f(x)exlnx的图像在点(1,f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) Byex1Cye(x1) Dyxe考点题点答案C解析
6、f(x)exlnx,f(x)(ex)lnxex(lnx)exlnx,f(1)e,又f(1)0,在(1,0)处的切线方程为ye(x1)2已知f(x)exx,则过原点与f(x)图像相切的直线方程是()Ay(e1)xByexCyxDye2x考点题点答案A解析设切点坐标为(x0,x0),由题意可得切线斜率kf(x0)1,所以切线方程为y(1)x,由x0(1)x0,解得x01,所以切线方程为y(e1)x.3过点P(3,9)与曲线y2x27相切的切线的方程为_考点题点答案8xy150或16xy390解析令yf(x)2x27,则f(x)4x,由点P(3,9)不在曲线上,设所求切线的切点为A(x0,y0),则
7、切线的斜率k4x0,故所求的切线方程为yy04x0(xx0),将P(3,9)及y02x7代入上式,得9(2x7)4x0(3x0),解得x02或4,故切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.4已知f(x)为偶函数,当x0,则x0)(1)求这个函数的图像在x1处的切线方程;(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数的图像相切,求直线l的方程考点题点解(1)函数yx2lnx的导数为y2xlnxx,函数的图像在x1处的切线斜率为2ln111,切点为(1,0),可得切线的方程为y0x1,即xy10.(2)设切点为(m,m2lnm),可得切线的斜率为2mlnmm,则切线的方程为ym2lnm(2mlnmm)(xm),由于切线过点(0,0),m2lnm(2mlnmm)(m),由m0,可得lnm2lnm1,即lnm1,解得m,所以直线l的方程为xey0.6已知双曲线C:y(m0,所以方程t22mtm0有两个不相等实根,设两根分别为t1与t2,则由t1t2m0,知t1,t2是符号相反的实数,且t1,t2均不等于0与1,命题得证(2)设A,B,由(1)知kAB1,即直线AB的斜率为定值1.