《高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2命题的四种形式讲义含解析湘教选修2_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2命题的四种形式讲义含解析湘教选修2_1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2命题的四种形式读教材填要点1四种命题结构2四种命题的相互关系3四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系小问题大思维1命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知a与d是一个命题2如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假
2、性相同3在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.四种命题的概念 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若，则sin cos ；(2)对任意非正数c，若有abc成立，则ab.自主解答逆命题：若sin cos ，则.否命题：若，则sin cos .逆否命题：若sin cos ，则.(2)逆命题：对任意非正数c，若有ab成立，则abc.否命题：对任意非正数c，若有abc成立，则ab.逆否命题：对任意非正数c，若有ab成立，则abc.四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命
3、题是原命题的逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这
4、条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线四种命题真假的判断 判断下列命题的真假，并说明理由(1)“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题；(4)“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题自主解答(1)原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题(3)原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”方程无实根，判别式14m0.m0，则mx2x10有实根”的逆否命题的真假，则结论
5、如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2x10无实根，则m0”因为方程mx2x10无实根，则m0，所以判别式14m0，则m，故m0，为真命题在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的等价关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假2把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假解：“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，
6、是真命题；否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题等价命题的应用 证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.自主解答法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上
7、是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)2，则m2n22”由于mn2，则m2n2(mn)2222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假解法一：逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为.判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，令x2(2a1)xa220，则(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a70，即抛物线yx2(2a1)xa220的解
8、集为.故逆否命题为真命题法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假因为关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，所以(2a1)24(a22)0.即4a70，解得a1.所以原命题为真，故其逆否命题为真法三：利用集合的包含关系求解命题p：关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，命题q：a1，所以p：Aa|(2a1)24(a22)0；q：Ba|a1因为AB，所以“若p，则q”为真命题所以原命题的逆否命题为真点评因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，所以判断某个命题真假时，可以改为判断它的逆否命题的真假当命题与不等式的解集有关时，也可以利用集合的包含关系1设mR，命题“若m0，
9、则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”故选D.答案：D2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析：abc3的否定是abc3，a2b2c23的否定是a2b2c23，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题
10、这四个命题中，真命题的个数为()A0B1C2D4解析：“若a3，则a6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.答案：C4命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_解析：“ab”的否定是“ab”，“2a2b1”的否定是“2a2b1”答案：若ab，则2a2b15有下列四个命题：命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若m1，则x22xm0有实根”的逆否命题；命题“若ABB，则AB”的逆否命题其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号)解析：中由ABB，应该得出BA，原命题为假命题，所以逆否命题为
11、假命题答案：6写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假(1)在ABC中，若ab，则AB；(2)若ab0，则a0；(3)若xA，则xAB.解：(1)逆命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题；否命题：在ABC中，若ab，则AB，真命题；逆否命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题(2)逆命题：若a0，则ab0，真命题；否命题：若ab0，则a0，真命题；逆否命题：若a0，则ab0，假命题(3)逆命题：若xAB，则xA，假命题；否命题：若xA，则xAB，假命题；逆否命题：若xAB，则xA，真命题一、选择题1命题“若ab，则a1b”的逆否命题是()A若a1b，则abB若a1bC若a1b，则abD若a1b，则a1，则x10”的否命题是“若x1，则x11，则x10”的否命题应该是“若x1，则x10”答案：B4命题“函
