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1、问题46 数学文化一、考情分析2016年10月8号,教育部考试中心公布了2016第179号文件关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知,对数学增加了数学文化的要求.这一文件的公布,是从考试命题的角度第一次非常正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题,故从2017年开始每年全国卷中都有与数学文化有关的试题.三、知识拓展1.中国古代著名数学著作(1)张丘建算经张丘建算经共有三卷,约成书于公元466485年间.张丘建,北魏时清河(今山东临清一带)人,生平不详.其中,最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就.“百鸡术”是世界著名的不定方程问题.（2）四元玉鉴作者朱世杰（13
2、00前后）,字汉卿,号松庭,寓居燕山.数学代表作有算学启蒙（1299）和四元玉鉴（1303）.算学启蒙是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展.四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）（3）黄帝九章算经细草作者贾宪,北宋人,约于1050年左右完成黄帝九章算经细草,原书佚失,但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录,因能传世.杨辉详解九章算法（1261）载有“开方作法本源”图,注明“贾宪用此术”,这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”.详解九章算法同
3、时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”.（4）数书九章作者秦九韶（约12021261）,字道吉,四川安岳人.秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他早年在杭州“访习于太史,又尝从隐君子受数学”,1247年写成著名的数书九章.数书九章全书共18卷,81题,分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）.其最重要的数学成就“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）,使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.（5）九章算术注,海岛算经,九章重差图作者刘徽（约公元225年295年）,汉族,山东邹平县人,是中国数学史上一个非常伟大的数学家,他
4、的杰作是中国最宝贵的数学遗产,重差原为九章算术注的第十卷,即后来的海岛算经,内容是测量目标物的高和远的计算方法.重差法是测量数学中的重要方法.九章算术注中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现.刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以九章算术为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗.理论体系：在数系理论方面用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算,以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中,他从开方不尽
5、的意义出发,论述了无理方根的存在,并引进了新数,创造了用十进分数无限逼近无理根的方法.在筹式演算理论方面先给率以比较明确的定义,又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础,建立了数与式运算的统一的理论基础,他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”,即现代数学中线性方程组的增广矩阵.在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理,建立了相似勾股形理论,发展了勾股测量术,通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析,形成了中国特色的相似理论.在面积与体积理论方面用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题.这些方面
6、的理论价值至今仍闪烁着余辉.二是在继承的基础上提出了自己的创见.这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：割圆术与圆周率他在九章算术圆田术注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法.他首先从圆内接六边形开始割圆,每次边数倍增,算到192边形的面积,得到=157/50=3.14,又算到3072边形的面积,得到=3927/1250=3.1416,称为“徽率”.刘徽原理在九章算术阳马术注中,他在用无限分割的方法解决锥体体积时,提出了关于多面体体积计算的刘徽原理.“牟合方盖”说在九章算术开立圆术注中,他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性,并引入了“牟合方盖”
7、这一著名的几何模型.“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分.方程新术在九章算术方程术注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用了比率算法的思想.重差术在白撰中,他提出了重差术,采用了重表、连索和累矩等测高测远方法.他还运用“类推衍化”的方法,使重差术由两次测望,发展为“三望”、“四望”.而印度在7世纪,欧洲在1516世纪才开始研究两次测望的问题.四、题型分析一、数列与数学文化【例1】【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意
8、可得，故，利用裂项相消法可得，代入选项检验即可.【解析】，而，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值9故选：B【点评】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.【牛刀小试】1.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一端截下1
9、尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间3尺的重量为A. 6斤 B. 9斤 C. 10斤 D. 12斤【答案】B【解析】试题分析：此问题是一个等差数列,设首项为,则,中间尺的重量为斤故选：B二、立体几何与数学文化【例2】【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺,问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面
10、中，三个梯形的面积之和为（ ）A40B43C46D47【答案】C【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可.【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.【小试牛刀】15. 九章算术是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下底面宽丈,长丈,上棱丈,.与平面的距离为1丈,问它的体积是 A. 4立方丈 B. 5立
11、方丈C. 6立方丈 D. 8立方丈【答案】B【解析】延长EF、FE分别到H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何体为直三棱柱,三棱锥F-BCH的体积为 ,三棱柱的体积为 ,所以所求体积为 .故选B.三、概率与数学文化【例3】【2019届广东省数学模拟试卷（一)】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BCAB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E则点E即为线段AB的黄金分割点若在线段AB上随机取
12、一点F，则使得BEAFAE的概率约为（）（参考数据：2.236）A0.236B0.382C0.472D0.618【答案】A【分析】由勾股定理可得：AC，由图易得：0.764AF1.236，由几何概型可得概率约为 0.236【解析】由勾股定理可得：AC，由图可知：BCCD1，ADAE1.236，BE21.2360.764，则：0.764AF1.236，由几何概型可得：使得BEAFAE的概率约为=0.236，故选：A【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根
13、阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况由古典概型概率公式可得，所求概率为故选A四、框图与数学文化【例4】【安徽省皖江名校2019届高三开学考】孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得”通过对该题的研究发现
14、，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A47 B48 C39 D40【答案】A【分析】按照程序框图逐步执行，即可求出结果.【解析】执行程序框图如下：初始值，执行循环体；，执行循环体；，执行循环体；，结束循环， .输出.故选A【小试牛刀】【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值如图若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为A B C D【答案】A【解析】由题意知，100对之间的均匀随机数,满足，满足，满足的点的面积为：，如图阴影部分所示；因为共产生了100对内的随机数，由程序框图可得能使，且的有对，所以，解得故选A四、迁移运用1【湖北省恩施州2019届高三2月教学质量检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（ ）A9B16C18D20【答案】B【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，
