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1、等量代换法习题练习一:1、如果1个梨的重量等于2个苹果的重量,1个苹果的重量等于3个桃的重量。问一个梨的重量等于几个桃的重量?2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量,同时又等2根香蕉的重量。问一根香蕉的重量等于几个苹果的重量?3、如果1个足球相当于2个排球的重量,一个排球相当于20个乒乓球的重量,假设一个乒乓球重8克,那么一个足球重多少克?4、1只猴子等于2只兔子的重量,1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重200克。1只猴子重多少克?练习二:1、1只兔子的重量1只猴子的重量8只鸡的重量3只兔子的重量9只鸡的重量1只猴子的重量( )只鸡的重量2、1只松鼠的重量1只兔子的重量5只鸭的
2、重量2只松鼠的重量6只鸭的重量1只兔子的重量( )只鸭的重量3、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋,2个鸡蛋可换4个鸽子蛋,用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋?4、20只桃子可换2只香瓜,9只香瓜可换3只西瓜,8只西瓜可换多少只桃子?5、2头小猪可换4只羊,3只羊可换6只兔子,3头猪可换几只兔子?练习三:1、1个苹果的重量1个桃子的重量1个菠萝的重量630克1个桃子的重量1个菠萝的重量1个梨的重量730克1个苹果的重量1个桃子的重量1个梨的重量330克1个苹果的重量1个菠萝的重量1个梨的重量800克求这四种水果各多少克?2、1只鸡的重量1只猴的重量15千克1只鸭的重量1只猴的重量18千克1只鸡的重量1只鸭的重量1
3、3千克求这三种动物各多少千克?3、1筐苹果的重量1筐橘子的重量90千克1筐香蕉的重量1筐橘子的重量140千克1筐苹果的重量1筐香蕉的重量150千克求这三种水果各多少千克/4、红气球的个数蓝气球的个数绿气球的个数35只白气球的个数蓝气球的个数绿气球的个数43只红气球的个数白气球的个数绿气球的个数33只红气球的个数蓝气球的个数白气球的个数48只求这四种气球各有多少只? 1、3包巧克力的价钱等于两袋糖的价钱,12袋牛肉干的价钱等于3包巧克力的价钱,一袋糖的价钱等于几袋牛肉干的价钱?2、一只小猪的重量等于8只鸡的重量,4只鸡的重量等于6只鸭的重量。2只鸭的重量等于6条鱼的重量。问两只小猪的重量等于几条
4、鱼的重量?3、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量,两只梨子的重量等于一只菠萝的重量,一只梨子的重量等于几根香蕉的重量?4、少先队一、二、三中队共灭鼠200只,二中队灭鼠的只数是一中队的2倍多5只,三中队灭鼠的只数比一、二中队之和多4只,三个中队各灭鼠多少只?5、在6个筐里放着同样多的鸡蛋。如果从每个筐里拿出50个鸡蛋,则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个?第21讲 用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一
5、个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。分析与解:阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)22=17(厘米2)。所以,阴影部分的面积是17厘米2。
6、例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。分析与解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50(厘米2)。例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解:求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形E
7、CB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。梯形ABCD面积=(8+4)62=36(厘米2),三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),EC=1862=6(厘米),ED=6-4=2(厘米)。例4 下页上图中,ABCD是74的长方形,DEFG是102的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析:直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,
8、将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4(10-7)2-2(10-7)2=3。解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4(10-7)2-2(10-7)2=3。解法三:延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积
9、之差。所求为(4+2)(10-7)2-2(10-7)=3。解法四:延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4(10-7)-(10-7)(4+2)2=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。分析与解:这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的
10、公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于442=8(厘米2)。 练习21 1.左下图中,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米,以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?2.右上图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。3.左下图中,扇形ABD的半径是4厘米,甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。(=3.14)4.在右上图的三角形中,D,E分别是所在边的中点,求四边形ADFE的面积。5.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。影部分的面积和。