《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编三角函数与解三角形小题强化训练（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编三角函数与解三角形小题强化训练（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 三角函数与解三角形小题强化训练(省赛试题汇编)1【2018年河北预赛】在ABC中，AC=3，sinC=ksinA(k2)，则ABC的面积最大值为_.【答案】3 【解析】由正弦定理将sinC=ksinA变形为c=ka，其中c=AB,a=BC.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A-32,0,C32,0，Bx,y，由c=ka得x+322+y2=kx-322+y2两边平方整理得k2-1x2+k2-1y2-3k2+3x+94k2-1=0因为k2，所以上述方程可化为为x2+y2-3k2+3k2-1x+94=0由此可知点B的轨迹是以3k2+12k2-1,0为圆
2、心，以r=3kk2-1为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径r=3kk2-1，所以ABC的面积S=1233kk2-1k2=921k-1k在k2上单调递减，所以Smax=9212-12=3.2【2018年河北预赛】已知sin3cos+11则tan的取值范围是_【答案】-,-233,2【解析】由条件知sin3cos+11sincos+333点表示单位圆上的动点Pcos,sin与点M-33,0连线的斜率大于3作图可得点P在圆弧AB与CD上运动，含点A-33,63和点C-33,-63，不含点B0,1和点D-33,-12如图：而tan表示原点与点P连线的斜率，由图计算得tan-,
3、-233,2故答案为：-,-233,23【2018年河北预赛】在ABC中，AC=3，sinC=ksinA(k2)，则ABC的面积最大值为_.【答案】3 【解析】由正弦定理将sinC=ksinA变形为c=ka，其中c=AB,a=BC.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A-32,0,C32,0，Bx,y，由c=ka得x+322+y2=kx-322+y2两边平方整理得k2-1x2+k2-1y2-3k2+3x+94k2-1=0因为k2，所以上述方程可化为为x2+y2-3k2+3k2-1x+94=0由此可知点B的轨迹是以3k2+12k2-1,0为圆心，以r=3kk2
4、-1为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径r=3kk2-1，所以ABC的面积S=1233kk2-1k2=921k-1k在k2上单调递减，所以Smax=9212-12=3.4【2018年四川预赛】在ABC中，cosB=14，则1tanA+1tanC的最小值为_.【答案】2155【解析】由cosB=14，知sinB=1-cos2B=154.于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinBsinAsinC.注意到0 b)，两点a2-b2，0、-a2-b2，0到直线xcosa+ysinb=1的距离乘积为_。【答案】b2【解析】直线方程可写成bcosx+a
5、siny-ab=0则d1d2=ba2-b2cos-abb2cos2+a2sin2=a2b2-b2(a2-b2)cos2b2cos2+a2sin2=a2b2(1-cos2)+b4cos2b2cos2+a2sin2=b214【2016年浙江预赛】若关于x、y的方程组sinx=msin3ycosx=mcos3y有实数解，则正实数m的取值范围是_。【答案】1,2【解析】两式平方，消去x得sin22y=431-m20,11m22.反之，当1m22时，也存在x0,y0满足方程.因此，正实数m1,2.15【2016年上海预赛】关于x的方程arctan2x-arctan2-x=6的解为_【答案】log23【解
6、析】在已知方程两边同取正切得2x-2-x1+2x2-x=332x-2-x=2332x2-2332x-1=0又2x0，故2x=3x=log2316【2016年上海预赛】已知函数fx=cosx,gx=2xa-12a0若存在x1、x20,1，使fx1=gx2成立，则实数a的取值范围是_【答案】-12,00,32【解析】设F、G分别为fx、gx定义在区间0,1上的值域则F=-1,1，gx=a-12,2a-12,a02a-12,a-12,a0a-1212a-12-1或a02a-121a-12-1，故a的取值范围是-12,00,3217【2016年新疆预赛】函数fx=cos2x+2sinx的最大值为_.【
7、答案】32【解析】依题意知fx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32.又sinx0,1，故当sinx=12时，fx取得最大值32.18【2016年新疆预赛】设ABC的A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足acosB-bcosA=45c. 则tanAtanB=_.【答案】9【解析】由余弦定理得aa2+c2-b22ac-bb2+c2-a22bc=45ca2-b2=45c2.从而，由正弦定理得tanAtanB=sinAcosBsinBcosA=aa2+c2-b22acbb2+c2-a22bc =a2+c2-b2b2+c2-a2=9.19【2016年四川预赛】若实数、构成以2为公
8、比的等比数列，sin、sin、sin构成等比数列，则cosa=_.【答案】-12【解析】设=2a，=4a.由sinsin=sinsinBsin2sin=sin4sin22sincossin=2sin2cos2sin22cos2-cos-1=0cos=-12或1.若cos=1，则sin=0（舍去）.从而，cos=-12.20【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记APC=,BPD=则 tan2a+tan2=_.【答案】8【解析】如图,建立直角坐标系.设圆方程为x2+y2=r2则正方形顶点坐标分别为A-r,-r,Br,-r,cr,r,d-r,r若Prcos,rsin,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为kPA=1+sin1+cos, kPB=-1+sin1-cos, kPC=-1-sin1-cos, kPD=-1-sin1+cos.故tan2=kPC-kPA1+kPAkPC2=4cos-sin2tan2=kPD-kPB1+kPBkPD2=4cos+sin2因此tan2+tan2=8.21【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数y=sinxsin2x的最大值为_.【答案】439【解析】由 y=sin2xcosxy2=4sin4xcos2x22sin2x+2cos2x33=1627y=439当cos2x=13时,以上各式
