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1、2019年考研数学三真题一、选择题 18小题每小题4分，共32分1当时，若与是同阶无穷小，则（ ）（A） （B） （C） （D）2已知方程有三个不同的实根，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）3已知微分方程的通解为，则依次为（ ）（A） （B） (C） （D）4若级数绝对收敛，条件收敛，则（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）收敛 （D）发散 5设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组基础解系中只有两个向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）6设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）7 设为随机事件，则的充分必
2、要条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）8设随机变量与相互独立，且均服从正态分布则（ ）（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关（C）与，都有关 （D）与，都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 10曲线的拐点坐标是（ ）11. 已知函数，则 12以分别表示两个商品的价格设商品的需求函数，则当13已知矩阵若线性方程组有无穷多解，则 14设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则 三、解答题15（本题满分10分）已知函数，求，并求函数的极值16（本题满分10）设函数具有二阶连续的偏导数，函数，求17（本题满分10分）设函数是微分
3、方程满足条件的特解（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积18（本题满分10分）求曲线与轴之间形成图形的面积19（本题满分10分）设（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限20（本题满分11分）已知向量组：；向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并将用线性表示21（本题满分11分）已知矩阵与相似（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得22（本题满分11分）设随机变量相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为：，令（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立23（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中是已知参数，是未知参数，是常数，是
4、来自总体的简单随机样本（1）求常数的值；（2）求的最大似然估计量2019年考研数学三真题解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分1当时，若与是同阶无穷小，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】当时，所以，所以2已知方程有三个不同的实根，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【详解】设，则令得且，也就是函数在处取得极大值，在处取得极小值；由于方程有三个不同实根，必须满足，也就得到3已知微分方程的通解为，则依次为（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出是特征方程的实根，从而确定；（2）显然，是非
5、齐次方程的特解，代入原方程确定4若级数绝对收敛，条件收敛，则（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）收敛 （D）发散 【答案】（B）【详解】由于条件收敛，则，也就是有界；从而，由正项级数的比较审敛法，绝对收敛5设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组基础解系中只有两个向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【详解】线性方程组基础解系中只有两个向量，也就是，所以6设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和而，所以三个特征值只能是，根据惯性
6、定理，二次型的规范型为7 设为随机事件，则的充分必要条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；对于选项（C），显然，由，8设随机变量与相互独立，且均服从正态分布则（ ）（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关（C）与，都有关 （D）与，都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而只与有关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【答案】解： 10曲线的拐点坐标是（ ）【答案】【详解】，；令得，且，所以是曲线的拐点；而对于点，由于，而，所以不是
7、曲线的拐点11. 已知函数，则 【答案】【详解】（1）用定积分的分部积分：（2）转换为二重积分：12以分别表示两个商品的价格设商品的需求函数，则当时，商品的需求量对自身价格弹性 【答案】【详解】，当时，则边际需求，商品的需求量对自身价格弹性为13已知矩阵若线性方程组有无穷多解，则 【答案】【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：显然，当且仅当时，线性方程组有无穷多解14设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则 【答案】【详解】，三、解答题15（本题满分10分）已知函数，求，并求函数的极值【详解】当时，；当时，；在处，所以在处不可导综合上述：；令得到当时，当时，当时，当时，；故
8、是函数的极小值点，极小值为；是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为16（本题满分10）设函数具有二阶连续的偏导数，函数，求【详解】，；17（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得，也就是通解为：把初始条件代入，得，从而得到（2）旋转体的体积为18（本题满分10分）求曲线与轴之间形成图形的面积【详解】先求曲线与轴的交点：令得当时，；当时，由不定积分可得，所求面积为19
9、（本题满分10分）设（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限【详解】（1）证明：，当时，显然有，所以数列单调减少；先设则当时，也就是得到令，则同理，综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；（2）由（1）的结论数列单调减少，且令，由夹逼准则，可知20（本题满分11分）已知向量组：；向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并将用线性表示【详解】向量组和向量组等价的充分必要条件是（1）当时，显然， ，两个向量组等价此时，方程组的通解为，也就是，其中为任意常数；（2）当时，继续进行初等行变换如下：显然，当且时，同时，也就是，两个向量组等价这时，可由线性表示，表示法唯一：21（本题满分11分）已知矩
10、阵与相似（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得（2）解方程组得矩阵的三个特征值；分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：令，则可逆，且；由前面，可知令，就满足22（本题满分11分）设随机变量相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为：，令（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立【详解】（1）显然的概率密度函数为先求的分布函数：再求的概率密度：（2）显然；由于随机变量相互独立，所以；要使不相关，必须，也就是时不相关；（3）显然不相互独立，理由如下：设事件，事件，则；，当时，显然，也就是显然不相互独立23（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中是已知参数，是未知参数，是常数，是来自总体的简单随机样本（1）求常数的值；（2）求的最大似然估计量【详解】（1）由可知所以似然函数为，取对数，得解方程，得未知参数的最大似然估计量为16
