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1、 高三数学期末模拟试题（4） 命题：王道顺 审核：董世军一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合，集合，则ABCD2复数z满足，则复数A1+3i B l-3iC3+ iD3-i3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是ABCD4执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数为A1B2 C3 D45已知实数a、b，则“ab”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知，等比数列的公比为正数，且，则ABCD27如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为ABC
2、D48已知函数，则下列结论正确的是A两个函数的图象均关于点成中心对称B两个函数的图象均关于直线对称C两个函数在区间上都是单调递增函数D可以将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像9函数的图象大致为10若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC的形状为A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知A、B、P是双曲线上的不同三点，且A、B关于坐标原点对称，若直线PA、PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率等于_ABCD12计算定积分_13已知函数，函数零点的个数是_14设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为2014，则k的值为_
3、15若实数a、b、c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是_三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且（I）求A的大小；（）若sin B+sin C =1，试求内角B、C的大小17四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形；侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点（I）证明：PA平面BDE；（）求二面角B-DE-C平面角的余弦值18请你设计一个包装盒，如图所示ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一
4、个四棱柱形状的包装盒，其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= xcm（I）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值；（II）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值19等差数列中，其前n项和为，等比数列中各项均为正数，b1 =1，且，数列bn的公比（I）求数列与的通项公式；（）证明：20已知动圆C与圆相外切，与圆相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A（I）求轨迹T的方程；()已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）若以MN为直径的圆过点A
5、，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21 已知，其中。 （I）若与的图像在交点（2，）处的切线互相垂直，求的值； （II）若是函数的一个极值点，和1是的两个零点，且（，求.高三数学期末模拟试题答案（4）一、选择题1D 2B 3A 4C 5D 6C 7A 8C 9D 10C 二、填空题：11. 12（理）， 13 2；14 1007；15（理），16解析：（），由余弦定理得：，故 6分（）， ，8分方法一：， 10分又为三角形内角，故，从而 12分17解析：（）如图，连接AC交BD于F，再连接EF； 1分因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC中点； 3分又因为E为PC中点，所以EF/PA；
6、 5分因为EF平面BDE，PA平面BDE，且EF/PA，所以PA /平面BDE；6分（）如图所示，以为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0） （只建系无坐标不得分） 7分设是平面BDE的一个法向量，则由，得，即9分又是平面的一个法向量 10分设二面角BDEC的平面角为，故二面角BDEC平面角的余弦值为 12分18解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得： 2分（） 4分所以当时，S取得最大值 6分（） 8分由由得：（舍）或x=20当时，；当时，；所以当x=20
7、时，V取得极大值，也是最小值 10分此时，装盒的高与底面边长的比值为 12分19解析：（）由于，可得，2分解得：或（舍去）， 3分， 4分 5分 6分（）证明：由，得 7分9分 11分故 12分20解析： （） ，+ = 4 2分点C的轨迹是以、为焦点（c=1），长轴长2a= 4的椭圆 4分点C的轨迹T的方程是 6分（）设，将代入椭圆方程得： （*式） 8分为直径的圆过点，点的坐标为（2，0）， ，即 10分，代入（*式）得：， 或都满足， 12分由于直线：与x轴的交点为（），当时，直线恒过定点，不合题意舍去，直线：恒过定点13分21. （I），1分 由题知，即 解得6分（II）=，由题知，即 解得=6，=19分=6（），=0，由0，解得02；由0，解得2在（0,2）上单调递增，在（2，+）单调递减，故至多有两个零点，其中（0,2），（2, +）12分又=0，=6（1）0，=6（2）0（3,4），故=3 14分
