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1、主题教学论文对高中数学概念课教学的若干思考摘要:高中数学教学中,概念很多,学生只有正确理解概念,分析概念,掌握概念,才能使学生能够灵活应用概念解决数学问题。关键词:概念的理解 概念教学的设计 概念课的后继高中数学中,概念很多,学生只有正确理解概念,分析概念,掌握概念,才能使学生能够灵活应用概念解决数学问题。如何在概念教学中让学生愿意“做” ,有效地“做” ,通过“做”自然而然的获得概念。下面以人民教育出版社 A 版教材必修 1 第二章函数中几个重要概念(函数概念、函数的单调性、函数的奇偶性,函数的零点,指数函数,对数函数,幂函数)为例,我们来进行概念课教学的若干思考。 思考 1.光知道函数就是
2、 y=f(x) 够么?光知道函数就是 y=f(x) 够么,不够!我们说要做好概念教学,首先要知道对概念如何理解,概念的理解指的是:概念的背景、发展;内涵和外延;与其它概念的联系;概念的课标要求,分几个阶段认识、理解、掌握概念。例如函数这个概念,它是数学学科的重要概念,也是高中数学的一个核心概念。所以你要知道以下几点:(1)从常量数学到变量数学的转变,是从函数概念的系统学习开始的。(2)从对函数的不同认识阶段看:初中以“变量说”定义函数,重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数,帮助学生形成对函数的直接体验, 高中数学以“对应说”定义函数,引进数字以外的符号(y
3、 = f (x) 中,f 不代表数,与 x ,y 的含义非常不同) 表达函数,进一步明确函数的表示法,以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体,给出研究函数性质的方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用,使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”。(3) 从研究函数的方法上:对于“基本初等函数”的研究,是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究,逐步加深对函数概念的理解,在“基本初等函数”的应用中,不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性,建立更加广泛、稳固的函数本质的理解
4、.所以,本单元的核心任务就是:建立一般意义的函数概念,了解函数的抽象符号的意义,了解函数中的问题、内容和方法,形成研究函数问题的“基本规范”。(4)从中学数学知识的组织结构看,函数是代数的“纽带”,代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如:(5)函数还是数学的后续发展的基础,同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用,在解决生产生活中的实际问题时,也往往采用函数作为建模的基本工具。因此,函数的学习非常重要,应当给予充分的重视。光知道函数就是 y=f(x)不够!思考 2.概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,剩下的是赶紧解题?概念教学就是对概念作解释,
5、要求学生记忆,剩下的是赶紧解题,这个教学是没有效果的。我们说任何数学概念都有它产生的背景,考察它的来龙去脉,我们能够发现它是合情合理的。而如何让学生理解概念,首先要了解它产生的背景,通过大量实例分析概念的本质属性,让学生概括概念,完善概念,进一步巩固和应用概念才能是学生初步掌握概念。因此,概念教学的设计应包括概念的引入-概念的形成-概括概念-明确概念-应用概念-形成认知。(1)概念引入学习一个新概念,首先应让学生明确学习它的意义。因此,教师应设置合理的教学情景,使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入,通常有两类:一类是从数学概念体系的发展过程引入,一类是从解决实际问题出发的引入。从数学体系发
6、展过程角度看,一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如:在讲分数指数幂时,教材上只是给出定义: 。为什么引入分数指数幂呢?教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入,以及相反数、倒数的引入过程:乘法的引入,就是当多个因数相加时,为了简化运算,引入乘法;当多个因数相乘时,为了简化运算,引入乘方。还有一些看起来是规定的概念,也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入,将加法和减法统一为加法;倒数的引入,将乘法和除法统一为乘法;那么分数指数幂的引入,将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。从实际问题问题出发的引入看,中学数学概念与实际生活有着密切的联系,让学生了解概念的实际
7、背景,有利于学生认识学习数学的作用,同时也能激发学生学习数学的兴趣。函数概念的引入就可以用学生熟悉的实际问题,如时间、速度、路程的关系;生产中的函数关系,气温变化,买卖上品中的函数关系等,引入函数概念。再如指数函数的引入,教师可以让学生做一个折纸游戏:将一张厚度为 0.1 毫米的报纸进行对折 1,2,3,,30 次,你知道会有多高吗?若对折 x 次,得到高度为 y,y 与 x 有怎样的关系?学生很感兴趣,动手去折,折到 7-8 次,就折不动了。用计算器算一算,对折 30 次,得到约为 1087 千米。并且得到 这个函数。这样引入,即让学生体会到生活中的指数函数,而且还感受到了指数函数的增加的速
8、度,体会指数爆炸。(2)概念的形成概念的形成阶段,教师可以通过大量典型、丰富的实例,让学生进行分析、比较、综合等活动,揭示概念的本质。例如,在引入偶函数这个概念时,教师可以让学生观察熟悉的函数 的图像,学生很容易看出图像关于 y 对称。教师提出问题:你能从数的角度说明它问什么关于 y 对称吗?学生根据初中对对称的认识,学生计算 f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(3),f(-3),学生猜想,x 取互为相反数的两个值,他们的函数值相等。教师追问:是对所有的 x 都成立吗?于是,学生计算 f(-x)与 f(x),发现相等。然后教师给出这类函数的名字为偶函数。(3)概念的概括概括是概念教
9、学的核心。概括概念就是让学生通过前面的分析,比较,把这类事物的共同特征描述出来,并推广到一般。前面偶函数的例子中,教师就可以让学生概念括偶函数的定义了。学生概括为:设函数 若满足 ,则这个函数叫偶函数。虽然不完善,但本质已经出来了。教师接着给出问题:函数是偶函数吗?设计意图让学生关注偶函数的意义域的特征,进一步完善定义。这样进行概念教学,不仅能扳住学生理解概念,而且能够培养学生的思维能力。(4)明确概念明确概念要明确概念的内涵和外延,要明确包含在定义中的关键词语。例如:偶函数的定义是:设函数 的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x 且,则这个函数叫偶函数。定义中的 “任意”的含
10、义,定义域的特征:关于原点对称;解析式的特点,都需要学生明白无误地理解。因此,教师在教学中,可以通过举例说明,也可以让学生举例,从而发现问题。特别是举反例,可以加深学生对概念的理解。从概念的形成(具体)到明确概念(一般),再到举出实例(具体)形成一个完整的概念认知过程。(5)应用概念 在掌握概念的过程中,为了理解概念,需要有一个应用概念的过程,即通过运用概念去认识同类事物,推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。例如函数的奇偶性明确奇函数和偶函数的概念后,可以让学生判断下列函数的奇偶性: ; ; 的目的是让学生理解判断函数奇偶性的两种方法:定义和图像,并规范解题格式。是一个奇函数。
11、满足()(),但是非奇非偶函数。具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称既奇又偶函数。这是学生能用概念判断面临的某一事物是否属于反映的具体对象,是在知觉水平上进行的应用。(6)形成良好的数学认知结构学习了一个新概念后,一定要把它与相关的概念建立联系,明确概念之间的关系,从而把新概念纳入概念体系中,即在概念体系中进行概念教学。例如,函数的奇偶性是函数的一种性质,它与定义域、值域,单调性一样是我们今后研究函数的性质的一种。思考 3.题目会做就可以,概念可以模糊点?题目会做就可以,概念可以模糊点,这个说法是错误的。我们说一个概念的学习,不仅仅是一节概念可就能完成的。对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程
12、,需要在概念课的后继课程中不断的反复应用,不断的加深理解。例如在学习指数函数后,利用指数函数的性质比较大小: ,学生能够做对,但是说不清楚为什么。学生知道利用的是指数函数的单调性,但却把 这两个数当成函数,说明学生对于函数概念,函数值,用函数观点看问题,都需要再次理解。因此,教师在这里就要对函数等概念再次指导学生理解,指导学生从函数观点看这两个数,他们是函数的两个函数值,比较函数值的大小,通过研究函数的单调性来解决。每一个概念的学习,都不是一蹴而就的,概念课的后继课对原有概念的理解依然很重要。在教学中,按照以上思考进行概念课的教学,体现了“以教师为主导,以学生为主体”的教学观,自始至终让学生“做”数学:让他们在问题情境中尝试感悟新概念,通过类比旧知识,尝试领悟概念内涵和外延,通过问题引导学生尝试探索新知识,在练习中尝试掌握新概念属性。创造机会让学生体验收获的喜悦,开创学生积极主动学习的新局面,使概念教学取得较好的效果。