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1、高中课件教案说课计划 (4) 下面呢，我们简单先来说一说正弦的齐次替换，我们说，但是限于寒假时间的要求，我们不能把正弦的齐次替换说得太（？），首先什么叫齐次，注意，以上呢，正弦的齐次替换基本上只能用于齐次的状态，什么叫做齐次？知道什么意思啊？一般高，诶，那叫齐。 齐次就是次数是相同的，次数是齐的。 好，什么意思？什么叫齐次？其实我们之前呢，在学习三角函数的时候，曾经学过齐次变换，比如说，当年有这样的题，2?tan，问c os2s inc oss in?2，求这个式子的值，这个式子的值，我们当时就说，这是上学期的内容，这里面呢，sin和os c是不是都是一次的，是不是这样的，是这么回事？下面呢，
2、sin和os c是不是也都是一次的，是不是应该是这样的？所以说，整个式子我们称之为叫做它的分子分母都是一次的齐次式。 所以我们可以做一个什么样的处理呢？我们可以把分子分母同时除以os c，这个时候上面就变成什么了？上面是不是就变成了2?tan，下面就变成了1?2tan，是不是应该是这样的？那么一般意义上，什么叫做一个齐次式呢？如果我们一个),(c b a f，这是一个多项式，如果在这个多项式当中，它的每一项的次数都是相等的，我们把这个式子称之为叫做一个齐次式。 比如说223),(ab c b ac b a f?，这就是一个齐次式，这叫做一个什么？这叫做一个三次齐次式，因为它的每一项是不是都是三
3、次的，是不是应该是这样的？但是注意，如果我这个地方写的是223),(ab c b a b af?，它是不是一个三次齐次式？注意这个时候c将是一个什么？c是一个常数，是不是这样的？这个能理解吧？c将是一个常数，那么这一项和这一次都是三次的，这一项是不是只有两次，是不是应该是这样的？它就不再是一个齐次式。 那问大家122?b ab a是不是一个齐次式，是不是一个关于a、b的齐次式？这个是2次，这个是2次，这个是2次，这个是几次？这个是不是零次？OK，所以说这个仍然不是齐次式，能理解我这句话的意思吧？那什么叫做齐次替换呢？齐次替换一般有两种形式的齐次的替换，第一种是整式形式的齐次替换，第二种是分式形
4、式的齐次替换。 整式形式的指的是什么呢？如果我们看到这样的一个式子，比如说ABC中，ac c ab a?22，假设你看到这样一个式子，这个式子代表着什么？这个式子你一看，哦，他就是不是应该是一个2次齐次式，关于a、b、c的，是不是这样的，这个能看出来吧。 那么这个时候，如果我们把所有的a换成A Rsin2，所有的b换成B Rsin2，把c换成C Rsin2，因为整个式子是齐次的，注意，为什么一定要齐次，那么R2的次数是不是一定都是一样的？每一项当中，2R的次数是不是应该是一样的，因为每一个a都会带一个R2，每一个b都会带一个R2，每一个c都会带一个R2，是不是应该是这样的？所以说R2的次数是不
5、是都是一样的，所以说R2是不是都可以被消掉？是这么回事吧？那么都可以消掉后，相应的a就剩下什么了？是不是就剩下A sin了？b是不是就剩下B sin了？c是不是就剩下C sin了？所以说这个过程我们一般把它简单的写成，由这个式子可以直接获得C AC B A A sin sin sin sin sin sin22?，比如说在xx年的清华的五校联考中，就出过这样一道题，叫作cba3?，然后要求一些列的东西，那么这个式子我们完全就可以用齐次转化的形式，把它换成什么式子？因为它们三个都是一次的，可以写成什么呀？B Asinsin?是不是就应该等于C sin3，齐次转化的形式很容易从这个形式写成这个形式
6、，再比如说，有一个三角形，它告诉我们osCcosBbosAac ?，那你能不能告诉我，这个三角形的形状是什么？显然这个式子你一看，a、b、c是不是齐次的？其实这个式子就可以写成osCCosBBosAAc sin sinsin?，于是我们就可以得到C BA tan tantan?，是不是就是这么个结果？这是一类题。 第二类的齐次变换呢，一定需要一个等式。 当你看到这个式子的时候，cb a?，为什么不需要看到等式呢？因为你可以上面分子上是一次的，分母上是不是也是一次的，是不是这样的?那这种形式，你把a写成A Rsin2，b写成B Rsin2，把c写成C Rsin2，那你所有的R2是不是都可以被约掉
7、，因为分子分母次数相同，是不是这样的?所以说它直接就等于什么？它就可以直接写成CB Asinsinsin?当然了这里题目出得更复杂，如它完全就可以有很多的变化，比如说C sin可以写成）（BA?sin，然后上面呢，学过和差化积公式，就写成2cos2sin2B B?A A，下面用二倍角公式展开，可以写成2cos2sin2B B?A A，然后上下的2sin2B?A都可以约掉，从而可以得到一系列的相关形式！当然这个现阶段还没有到，还没有学和差化积，所以只能简单的说一说。 齐次变换在三角形中是非常常见的一个变换手法。 好吧，这个是相关的齐次变换，齐次变换是正弦定理的一个非常大的使用的方法。 下面我们简
8、单的看一看讲义上的正弦定理、余弦定理的一些使用，第一个，我们先看一看讲义上的例5，这道题是目其实就是简单的用了一下正弦间的替换，是这么回事吧？你看到这明显就是几个齐次的处理，是不是应该是这样的，很简单的事。 当你看到齐次式的时候，你应该有意识的去替换。 好，来看一下这几个题目吧，第一道题，告诉我们C BAsin:sin:sin的比是3:2:4，这说明什么啊？说明三边的比是不是就应该是3:2:4，是不是应该是这样的?那下面来求os c是不是可以做了？结果是不是就是41-，对吧！第二道C BA222sinsinsin?，其实就是说明222cba?，这是什么三角形？钝角三角形吧？第三个题选什么？它告
9、诉我们，bc ba322?，又告诉我们B Csin32sin?，这道题我们就有两个方向，是不是这样的?一个是把这个化成sin能不能做？我告诉你，能做！只是可以做而已，还是挺无聊。 还有一个是把这个化成b c32?,这个是不是齐次变换，一样吧？那这个式子得到什么呢?2226b ba?，说明227ba?，而2212b c?，那么我们可以算bca cbA2cos222?，这个应该能算了吧?等于多少？上面是26b，下面是234b，23cos?A，所以说A是多少度？应该是。 30了吧？OK，最后呢，我们来说一说三角形面积的表达形式。 好，三角形的面积的表达形式呢，我们初中和小学的时候都学过一个臭名昭著的
10、、非常著名的式子就是ah21=S，这个大家一定都学过的，而且大家都学得很开心，对不对？今天我们再给出一个三角形基本的公式，absinC21=S，注意，这是北京市最喜欢考的式子，最喜欢考的面积的表达式。 不管是xx年的高考的解析几何题，还是xx的第14题都用到了这个，这就是北京市考面积，百分之八九十都是用这个形式而不会使用这个形式。 明确告诉大家，北京高考特别喜欢这个公式。 11年的第14题给的一个轨迹的题，这道题中面积就涉及到这个问题，然后xx年的题目呢，告诉我们两个面积相等，也是用这个形式去处理，就比较清楚一些。 OK，尤其是在解析几何的各种运用当中，用这个式子的频率远远高于用这个的频率。
11、好，我相信absinC21=S这个面积公式大家都可以证明出来吧？这个我觉得压力不大吧？比如说，我举一个简单的例子，这是边a，边b，这是角C，你可以这么想，asinC是不是就是这个b边上的高？这种面积形式一般情况之下，你遇到解三角形当中，我们解三角形之后，你就会有7个基本量，叫做a、b、c、A、B、C，很多时候还会把S加进去，往往一般情况，解三角形的题目就变成了这7个量在里面捣腾，知道3个，求另外的四个或求另外的若干个。 absinC21=S这个量的引入，它最大的作用就是把这个三角形的水搅浑一点，尽管还是很简单。 无非原来就是知三求三，现在就变成了知三求四，仅此而已。 它对于解三角形的问题的拓展
12、就仅仅变到这个地步。 好，下面把讲义上的几个小题呢，迅速走一遍。 一个是讲义上的例7，这个特别简单。 巨简单无比。 然后第二个是讲义上的例8，就是一道很标准的把三角形的面积加进去，然后做解三角形的题目。 （完）例例1 (1)已知ABC?，三个角,A BC的对边分别记为,a b c，43b?，4c?，60B?，求ABCS?。 (2)已知ABC?，三个角,A BC的对边分别记为,a b c，若2a?，3b?，4c?，求ABCS?。 好啦，我们来说说这几个小问题，第一个题有压力么？应该木有压力吧？ABCS?怎么求？我们已经知道了边b，边c，又知道了角B，该怎么求？而且你们一看就知道，bc正好是3倍，
13、是不是这样的？这是个什么三角形啊？肯定是个直角三角形，是不是这样的啊？直角三角形就不用再说了吧，如果知道是直角三角形还不会做的话，这个日子没法过了。 第二道题呢？第二道题知道三边要求三角形面积，是不是要搞出一个角出来？是不是应该这样啊？先不谈海伦公式的事，海伦公式要用就证一遍，高考中有这样一个要求，凡不出现在课本中的定理，考试之中一概不准使用。 高考要是能突破这个原则，很多事情就没办法弄了，很多题那就是显然啊，这道题显然，根据AD，那道题显然根据BD，那就日子没法过了，所以高考的原则就是，高中课本中没有出现的定理，不得在考试中直接使用。 我们来看看这道题，2,3,4a bc?，那么按照正常的情
14、况下，如果我们要使用12ABCS abSinC?的话，我们肯定要求一个角出来，是不是这样的？那我们就随便求一个角出来，我们就求cosC吧，cosC等于什么呀？49161124cosC?，那么因此求出154SinC?，那么下面就可以求出来了，是不是这样的？11531523244S?，有的同学说用海伦公式，那我们就简单介绍下，三角形有一个海伦公式，海伦公式它首先定义了一个P，海伦公式最大的作用是知道三角形的三边长，来求这个三角形的面积，那么P就称为半周长，半周长的意思就是什么呀？=2a bcP?，定义了一个半周长，那么海伦公式S等于什么？（互动哎，你来说。 学生根号。 老师说呀，哎，这叫什么呢？公
15、式记不住，神仙也救不了！，这就是乱用课本以外的定义很容易发生的一个悲剧，记不住！）?S pp ap bp c?，好，我们可以对海伦公式进行一个简单的证明。 证明过程?222222222222222222211sin1cos221124144122414S ab C abCa b caba ba ba bcaba bc aba bca bc a ba bcba?然后把14换成116乘进去，每个分个12就行了。 我们再来做下这道题。 好，这就是海伦公式的给出，利用海伦公式我们可以很简单地得到面积，实际上也没那么简单，也有分数，没那么舒服。 所以说呢，其实做这种题啊，海伦公式我告诉你，能不用就别用，没有几个题真的要用，明白我的意思吧？真没几个题要用它的。 海伦公式你用不用就那么回事，你算出来cosC一样也没有多复杂吧？是这么回事儿吧，所以说，能用余弦定理解决的，就老老实实地用余弦定理解决。 不要老想那些稀奇古怪的，包括将来你们做解析几何也是，不要老迷信解析几何有这样那样的结论，这个小技巧，那个小技巧，都是胡扯淡，你就老老实实地算，你
