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1、第四章 模拟信号的数字化 1 4 1 引言 l两类信源 模拟信号 数字信号 l模 数变换的三步骤 抽样 量化和编码 抽样信号 抽样信号 量化信号 t 011011011100100100100 编码信号 2 l主要的模 数变换方法 脉冲编码调制 PCM 差分脉冲编码调制 DPCM 增量调制 3 4 2 模拟信号的抽样 4 2 1 低通模拟信号的抽样 l通常是在等间隔T上抽样 l理论上 抽样过程 周期性单位冲激脉冲 模拟信号 l实际上 抽样过程 周期性单位窄脉冲 模拟信号 l抽样定理 若一个连续模拟信号s t 的最高频率小于fH 则以 间隔时间为T 1 2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时 s t
2、将被 这些抽样值所完全确定 模拟信号 s t 模拟信号的抽样 4 l抽样定理的证明 设 s t 最高频率小于fH的信号 T t 周期性单位冲激脉冲 其重复周期为T 重 复频率 为fs 1 T 则抽样信号为 设sk t 的傅里叶变换为Sk f 则有 式中 Sk f sk t 的频谱 S f s t 的频谱 f T t 的频谱 f 是周期性单位冲 激脉冲的频谱 它可以求 出等于 5 将 代入 得到 由上式看出 由于S f nfs 是信号频谱S f 在频率轴上平移 了nfs的结果 所以抽样信号的频谱Sk f 是无数间隔频率为fs 的原信号频谱S f 相叠加而成 因已经假设s t 的最高频率小于fH
3、所以若上式中的频 率间隔fs 2fH 则Sk f 中包含的每个原信号频谱S f 之间互 不重叠 如图所示 这样就能够从Sk f 中分离出信号s t 的 频谱S f 并能够容易地从S f 得到s t 也就是能从抽样信 号中恢复原信号 或者说能由抽样信号决定原信号 6 这里 恢复原信号的条件是 2fH称为奈奎斯特 Nyquist 抽样速率 与此相应的最小 抽样时间间隔称为奈奎斯特抽样间隔 u如果抽样频率小于奈奎斯特抽样频率 则相邻周期的 频谱间将发生频谱重叠 简称混叠 并因此不能正 确分离出原信号频谱 7 l由抽样信号恢复原信号的方法 从频域看 当fs 2fH时 用一个截止频率为fH的理想低通 滤
4、波器就能够从抽样信号中分离出原信号 从时域中看 当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器 时 滤波器的输出就是一系列冲激响应之和 如图所示 这些冲激响应之和就构成了原信号 理想滤波器是不能实现的 实用滤波器的截止边缘不可 能做到如此陡峭 所以 实用的抽样频率fs 必须比 2fH 大 较多 例如 典型电话信号的最高频率限制在3400 Hz 而抽样 频率采用8000 Hz 8 l4 2 2 带通模拟信号的抽样定理 设带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间 如图所示 即其频谱最低频率大于fL 最高频率小于fH 信号带宽 B fH fL 1 按照上面的低通信号抽样的结论 只要采样频率fs 大于2fH 显然
5、可以进行无失真采样 但是这样的fs往往 太高了 2 应该怎么办呢 抽样过程使得频谱重叠 而正确抽样的条件是抽样 过程中频谱不互相重叠 fH f 0fL fL fH 9 f f HH n nB B 则则 f f s s 2B 2B 频谱不重叠 10 l4 2 2 带通模拟信号的抽样定理 当fH nB 即 fH nB kB 0 k 1 适当下移fL 将带宽扩展到B 使得fH为B 的整数倍 即fH nB n B 1 k n 其中B B 1 k n 按照上面的结论 有 fs 2B 2B 1 k n 式中 B 信号带宽 n 商 fH B 的整数部分 n 1 2 k 商 fH B 的小数部分 0 k 1
6、这里得到的采用频率比前面的2fH低很多 因此具有重要利用价值 11 由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信号带宽 B 所以 1 当0 fL B时 有B fH 2B 这时n 1 而上式变成了fs 2B 1 k 故当k从0变到1时 fs从2B变到4B 即图中左边第一 段曲线 2 当fL B时 fH 2B 这时n 2 故当k 0时 上式变成了fs 2B 即fs从4B跳回2B B 2B 3B 4B 3BB2B4B5B6B fL0 fs 12 3 当B fL 2B时 有2B fH 3B 这时 n 2 上式变成了 fs 2B 1 k 2 故若k从0变到1 则fs从2B变到3B 即图中左边
7、 第二段曲线 4 当fL 2B时 fH 3B 这时n 3 当k 0时 上式又变成了fs 2B 即fs从3B又跳回2B 依此类推 B 2B 3B 4B 3BB2B4B5B6B fL0 13 由上图可见 当fL 0时 fs 2B 就是低通模拟信号 的抽样情况 当fL很大时 fs趋近于2B fL很大意味着 这个信号是一个窄带信号 许多无线电信号 例如在 无线电接收机的高频和中频系统中的信号 都是这种 窄带信号 所以对于这种信号抽样 无论fH是否为B的 整数倍 在理论上 都可以近似地将fs取为略大于2B 图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs 但是这并不意 味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠
8、 14 4 2 3 模拟脉冲调制 l脉冲振幅调制PAM l脉冲宽度调制PDM l脉冲位置调制PPM 15 4 3 4 3 抽样信号的量化抽样信号的量化 16 例子 四舍五入 量化 17 18 4 3 抽样信号的量化 4 3 1 量化原理 l量化的目的 将抽样信号数字化 l量化的方法 设s kT 抽样值 若用N位二进制码元表示 则只能表示M 2N个不同 的抽样值 共有M个离散电平 它们称为量化电平 用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化 例 见图 图示为均匀量化 图4 3 1 抽样信号的量化 19 4 3 2 均匀量化 l设 模拟抽样信号的取值范围 a b 量化电平数 M 则均匀量化时的量
9、化间隔为 量化区间的端点为 l若量化输出电平qi 取为量化间隔的中点 则有 l量化噪声 量化输出电平和量化前信号的抽样值 之差 l信号功率与量化噪声之比 简称信号量噪比 20 l求量化噪声功率的平均值Nq 式中 sk为信号的抽样值 即s kT sq为量化信号值 即sq kT f sk 为信号抽样值sk的概率密度 E表示求统计平均值 M为量化电平数 l求信号sk的平均功率 l由上两式可以求出平均量化信噪比 21 l 例4 1 设一个均匀量化器的量化电平数为M 其输入信号 抽样值在区间 a a 内具有均匀的概率密度 试求该量化器 的平均信号量噪比 解 有 或 M越大 信号量噪比越小 22 4 3
10、3 非均匀量化 l均匀量化的缺点 量化噪声Nq是确定的 但是 信号的强度 可能随时间变化 例如语音信号 当信号小时 信号量噪比 也就很小 非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比 l非均匀量化过程 先非线性压缩 再均匀量化 l非均匀量化原理 用一个非线性电路将输入电压 x 变换成输 出电压 y y f x 当量化区间划分很多时 在每一量化区间内压缩特 性曲线可以近似看作为一段直线 因此 这段直线的斜率可 以写为 或 设x和y的范围都限制在0和1之间 且纵座标y在0和1之间均匀划分成N个 量化区间 则有区间间隔为 23 l由 有 为了保持信号量噪比恒定 要求 x x 即要求 dx dy x或dx
11、dy kx 式中 k 常数 由上式解出 为了求c 将边界条件 当x 1时 y 1 代入上式 得到 k c 0 即求出 c k 将c值代入上式 得 到 由上式看出 为了保持信号量噪比恒定 在理论上要求 压缩特性为对数特性 24 对数量化及其还原 25 l对于电话信号 ITU制定了两种对数量化建议 即A压缩律 和 压缩律 以及相应的近似算法 13折线法和15折线法 lA压缩率 式中 x为压缩器归一化输入电压 y为压缩器归一化输出电压 A为常数 决定压缩程度 A律中的常数A不同 则压缩曲线的形状不同 它 将特别影响小电压时的信号量噪比的大小 在实用中 选择 A等于87 6 26 u13折线压缩特性
12、A律的近似 lA律是平滑曲线 用电子线路很难准确地实现 但很容易用 数字电路来近似实现 l13折线特性就是近似于A律的特性 27 u13折线压缩特性 A律的近似 l图中x在0 1区间中分为不均匀的8段 1 2至1间的线段称为 第8段 1 4至1 2间称为第7段 1 8至1 4间称为第6段 依此 类推 直到0至1 128间的线段称为第1段 l纵坐标y则均匀地划分作8段 将这8段相应的座标点 x y 相 连 就得到了一条折线 l除第1和2段外 其他各段折线的斜率都不相同 折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8 斜 率 16 16 8 4 2 1 l对交流信号 正负第1和2段斜率相同 故共有13段
13、折线 28 A律和13折线法比较 i 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y 1 i 8 0 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 A律x值 0 1 128 1 60 6 1 30 6 1 15 4 1 7 79 1 3 93 1 1 98 1 13折线法 0 1 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 x 1 2i 折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8 折线斜率 16 16 8 4 2 1 从表中看出 13折线法和A 87 6时的A律压缩法十分接近 29 30 l 压缩律和15折线压缩特性 A律中 选用A 87 6有两个目的 1 使曲线在原点附近的斜率 1
14、6 使16段折线简化成13段 2 使转折点上A律曲线的横坐标x值 1 2i i 0 1 2 7 若仅要求满足第二个目的 仅要求满足 当 x 1 2i 时 y 1 i 8 则可以得到 律 15折线 近似 律 31 l15折线法的转折点坐标和各段斜率 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y i 8 0 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 x 2i 1 255 0 1 255 3 255 7 255 15 255 31 255 63 255 127 255 1 斜率 255 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 512 1 1024 段号 1
15、2 3 4 5 6 7 8 u由于其第1段和第2段的斜率不同 不能合并为一条直线 故考 虑交流电压正负极性后 共得到15段折线 32 33 A压缩律与 压缩律性能对比 D 输入信号相对于量化范围的归一化有效值 34 l13折线法和15折线法比较 1 比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知 15折线特性第一段的斜率 255 8 大约是13折线特性第一 段斜率 16 的两倍 所以 15折线特性给出的小信号的信 号量噪比约是13折线特性的两倍 2 但是 对于大信号而言 15折线特性给出的 信号量噪比要比13折线特性时稍差 这可以从对数压缩式 4 3 22 看出 在A律中A值等于87 6 但是
16、在u律中 相当A 值等于94 18 A值越大 在大电压段曲线的斜率越小 即信 号量噪比越差 35 A律13折线 蓝色 与u律15折线 红色 比较图 36 A律13折线 蓝色 与u律15折线 红色 比较图 37 l非均匀量化和均匀量化的比较 现以13折线法为例作一比较 若用13折线法中的 第1和第 2段 最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔 则13折线法中 第1至第8段包含的均匀量化间隔数分别为16 16 32 64 128 256 512 1024 共有2048个均匀量化间隔 而非均匀量化时 只有128个量化间隔 因此 在保证小信号的量化间隔相等的条件下 均匀量化需 要11比特编码 而非均匀量化只要7比特就够了 38 4 4 脉冲编码调制 pause code modulation PCM是把模拟信号变成二进制数字信号的基本 方法 广泛应用于通信 计算机 仪器仪表等 领域 也称为 模拟 数字 A D 变换 4 4 1脉冲编码调制 PCM 的基本原理 l抽样 量化 编码 39 40 7 6 5 4 3 2 1 3 4 5 6 7 6 011 100 101 110 111 110 3 1
