《高中数学 3.1.1《变化率与导数》课件 新人教A版选修1-1 - 副本 - 副本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.1.1《变化率与导数》课件 新人教A版选修1-1 - 副本 - 副本（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 变化率与导数 教学目标 了解导数概念的实际背景 体会导数的思 想及其内涵 教学重点 导数概念的实际背景 导数的思想及其内 涵 变化率问题 问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水运动中 运动员相对 于水面的高度是 引导 1这一现象中 哪些量在改变 2 变量的变化情况 3 引入气球平均膨胀率的概念 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 当空气容量 从 加 时 半径增加了 r r 0 探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况 我们把这一思路延伸到函数上 归纳一下得 出函数的平均变化率 设某个变量 f 随 x 的变化而变化 从 x 经过 x 量 f 的改变量为 量 f
2、 的平均变化率为 平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度 为了了 解汽车的性能 还需要知道汽车在某一时刻的速度 瞬时速度 2 瞬时速度 平均速度的概念 这段时间内汽车的平均速度为 已知物体作变速直线运动 其运动方程为 s s t 表示位移 t 表示时间 求物体在 t0 时刻的速度 如图设该物体在时刻t0的位置是 t0 OA0 在时刻t0 Dt 的位置是s t0 Dt OA1 则从 t0 到 t0 Dt 这段时间内 物体 的 位移是 在时间段 t0 Dt t0 Dt 内 物体的平均速度为 要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体 在每一时刻运动的快慢程度 如果物体的运动规律 是 s s t 那
3、么物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物 体在t 到 t Dt 这段时间内 当 Dt 0 时平均速度 的极限 即 例 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移 单位是m 时间单位是s g 9 8m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2时的瞬时速度 1 将 Dt 0 1代入上式 得 2 将 Dt 0 01代入上式 得 平均速度 的极限为 3 当 当时间间隔Dt 逐渐变小时 平均速度 就越接近 t0 2 s 时的瞬时速度v 19 6 m s 即物体在时刻t0 2 s 的瞬时速度等于19 6 m s 要精确地描述非匀速直
4、线运动 就要知道物体 在每一时刻运动的快慢程度 如果物体的运动规律 是 s s t 那么物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物 体在t 到 t Dt 这段时间内 当 Dt 0 时平均速度 的极限 即 瞬时速度 高台跳水 t t 0 1 12 610 1 13 59 0 01 13 0510 01 13 149 0 001 13 09510 001 13 1049 0 0001 13 0099510 0001 13 10049 0 00001 13 0999510 00001 13 100049 高台跳水 导数的概念 一般地 函数 y f x 在点x x0处的瞬时变化 率是 我们称它为函数 y f
5、x 在点x x0处的导数 记为 或 即 导数的概念 也可记作 若这个极 限不存在 则 称在点x0 处不 可导 设函数 y f x 在点 x x0 的附近有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x 点 x0 x 仍在该定义内 时 相应 地函数 y 取得增量 y f x0 x f x0 若 y与 x 之比当 x 0的极限存在 则称函数 y f x 在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 y f x 在点 x0 处的导数 记为 即 说说明 1 函数在点处处可导导 是指时时 有极限 如果不存在极限 就说说函数在 处处不可导导 或说说无导导数 点 是自变变量x在处处的改变变量 而 是函数值值的改变变
6、量 可以是零 2 由导导数的定义义可知 求函数在处处的 导导数的步骤骤 1 求函数的增量 2 求平均变变化率 3 取极限 得导导数 例 将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同 产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第 时 原油的温度 单位 为 计算第2 h和第6 h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 例 高台跳水运动中 秒 时运动员相 对于水面的高度是 单位 求运动员在 时的瞬时 速度 并解释此时的运动状态 在 呢 同理 运动员在 时的瞬时速度为 上升 下落 这说明运动员在 附近 正以大约 的速率 你能借助函数 的图象说说平均变化率 表示什么吗 请在函数 图象中画出来 割线AB的的变化情况
7、 在 的过程中 请在函数图象中画出来 你能描述一下吗 3 1 1 导数的几何意义 P x y 0 T P x y o T 的切线方程为 即 圆的切线定义并不适 用于一般的曲线 通过逼近的方法 将 割线趋于的确定位置的 直线定义为切线 交点 可能不惟一 适用于各 种曲线 所以 这种定 义才真正反映了切线的 直观本质 根据导数的几何意义 在点P附近 曲线可以 用在点P处的切线近似代替 大多数函数曲线就一小范围来看 大致可看 作直线 所以 某点附近的曲线可以用过此点 的切线近似代替 即 以直代曲 以简单的 对象刻画复杂的对象 1 在函数 的 图像上 1 用图形来体现导数 的几何意义 2 请描述 比较
8、曲线分别在 附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在 附近呢 2 请描述 比较曲线分别在 附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在 附近呢 增 减 增 减 快慢 切线的斜率 附近 瞬时变化率 正或负 即 瞬时变化率 导数 数形结合 以直代曲 画切线 即 导数 的绝多值的大小 切线斜率的绝对值的 大小 切线的倾斜程度 陡峭程度 以简单对象刻画复杂的对象 2 曲线在 时 切线平行于x轴 曲线在 附近比较平坦 几乎没有升降 曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近 曲线 函数在 附近单调 如图 切线 的倾斜程度大于切线 的 倾斜程度 大于 上升 递增 上升 这说明曲线在 附近比在 附近 得迅速 递减 下降
9、小于 下降 2 如图表示人体血管中的药物浓度 c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化的函数图像 根据图像 估计 t 0 2 0 4 0 6 0 8 min 时 血管中 药物浓度的瞬时变化率 把数据用表格 的形式列出 精确到0 1 血管中药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度 从图象上看 它表示 曲线在该点处的切线的斜率 函数f t 在此时刻的导数 数形结合 以直代曲 以简单对象刻画复杂的对象 抽象概括 是确定的数 是 的函数 导函数 的概念 t 0 2 0 4 0 60 8 药药物浓浓度的 瞬时变时变 化率 小结 函数 在 处的导数 的几何意义 就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率 数形结合 切线 AD的斜率 3 导函数 简称导数 2 利用导数的几何意义解释实际生活问题 体会 数形结合 以直代曲 的数学 思想方法 以简单对象刻画复杂的对象
