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1、同步：辅助角公式及其应用 () 教学目标正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，了解正弦定理的证明，并能熟练运用正弦定理，解决斜三角形中的相关问题.导入 “工人师傅的一个三角形的零件坏了，只剩下如下图所示的部分，A=47,B=53,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少无法截料，你能帮师傅这个忙吗？知识梳理 1.正弦定理： （为外接圆半径）2.证明方法：证明一：（等积法）在任意斜ABC当中，SABC=. 两边同除以即得：=.证明二：（外接圆法）如图所示，AD，同理 =2R，2R.,则. 同理，从而.3.公式的变形：4.利用正弦定理解三角形时,经
2、常用到:5.正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.典例精讲 例1（）在ABC中，已知，求B（精确到）和（保留两个有效数字）.解：由正弦定理，可知，当时，当时，注：已知两边和一角时，此时如果为“SSA”形式，要考虑到此时三角形有可能不唯一,抓住条件仔细分析，确定解的情况.本题中，由“大边对大角”的性质，排除了另一种情况存在的可能性.【巩固练习1】1. （）在ABC 中，b = 8，c =，SABC =，则A 等于 解：答案为A = 30 ，或 150 .bc sin A = 16， sin A =，A =
3、 30 ，或 150 .2. （）若ABC满足下列条件： a = 4，b = 10，A = 30； a = 6，b = 10，A = 30； a = 6，b = 10，A = 150； a = 12，b = 10，A = 150； a + b + c = 4，A = 30，B = 45.则ABC恰有一个的是( )A. B. C. D. 解：答案为 bsin A = 10sin 30 = 5，且45， ABC不存在. bsin A = 10sin 30 = 5，且5610， ABC有两解. A = 150 且ab， ABC不存在. A = 150 且ab， ABC有一解. 由已知，得C = 10
4、5，当时，各边有正数解， ABC有一解， 符合题条件.例2（）已知ABC中， ,且,试判断三角形的形状.解：法一：（边化角），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而ABC为等腰直角三角形.法二：（角化边），由正弦定理，可得而，由正弦定理，可得从而ABC为等腰直角三角形. 注：用正弦定理解三角形时，有两种思路可供选择，一是边化角，而是角化边.【巩固练习2】1. （）若则是（ ）A等边三角形B有一内角是30 C等腰直角三角形D有一内角是30的等腰三角形解：答案为C由正弦定理及已知条件对比发现,故,.2. （） ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则ABC 是(
5、 )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形解：答案为B sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C， sin C sin(A - B)= sin2 C. C(0，)， sin(A - B)= sin C = sin(A + B). sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B， cos A sin B = 0， A =， ABC为直角三角形.注：解三角形中常用到由产生的结论：.例3（）在ABC中，A = 45，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B，C，ABC外接圆半径R及面积
6、S.解：由A + B + C = 180，A = 45，可得 B = 60，C = 75.由正弦定理，R = 5().由面积公式，S =bcsin A = c 2Rsin Bsin A = 7525.【巩固练习3】1.（）已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为 解：答案为C2R8，sin C.例4（）一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东处；行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东处. 这时船与灯塔的距离为 km. 图1ABCD解：答案为 .，BC =60 = 30.【巩固练习4】1. （）如图1所示，为了测河的
7、宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度.解：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m.注：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”.课堂检测 1.（）在中，必有（填）解：答案为“”在三角形中，有，由正弦定理，可知.2. （）在中，若，则= 解：答案为由正弦定理，可知，得，从而.3. （）在中，若，则此三角形的形状是 解：答案为等腰三角形或直角三角形由正弦定理，可知 从而即因此，此三角形为等腰三角形或直角三角形4. （）设分别是的三个内角所对的边，则是的（ ）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
8、（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件解：答案为A设分别是的三个内角所对的边，若，则，则， ，又， ， ，若ABC中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要条件，选A. 5. （）在中，若，则 解：答案为在中，若， A 为锐角，则根据正弦定理=6. （）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120，ca，则()Aab Ba .又AB60，A30.AB.7. （）ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于 解：答案为或，sin Csin 30.C60或C120.当C60时，A90，SABC1，当C120时，A30，SABC1sin 30.即ABC的
9、面积为或.8. （）某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度东北南西ABC解：如图所示，A、B两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得BCO =，ACO =，BCA =BCOACO =由题意，知BAC =，ABC =在ABC中，由正弦定理，得：=，即有AC = =6在直角三角形AOC中，有 设步行速度为x米/分，则x = 34.7即此人步行的速度为4.7米/分回顾总结 1.正弦定理： （为外接圆半径）三角形面积公式：拓展结论：（可让学生回去后试着证明）2.正弦定理解两种类型的三角问题： (1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；（唯一解）(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.（注意解的个数） 7
