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1、1 1 4 3 4 3 矩阵的秩矩阵的秩 2 2 一 子式一 子式 定义 在 矩阵 中 任取 行与 列 位于这些行列交叉处的 个元素 不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式 称为 矩阵 的 阶子式 例如 是 的一个2阶 子式 的2阶子 式共有 个 一般地 矩阵 的 阶子式共有 个 3 3 二 矩阵的秩二 矩阵的秩 定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子 式 且所有 阶子式 如果存在的话 全等 于零 那么 称为矩阵 的最高阶非零子式 数 称为矩阵的秩 记作 或 规定 零矩阵的秩等于0 例1 求矩阵 和 的秩 4 4 在 中 容易看出一个2阶 子式 的3阶子式只有一个 因此 在 中 由
2、于它是行阶梯形 矩阵 容易看出它的4阶子式 全为零 而以三个非零行的 首非零元为对角元的3阶子式 不等于零 因此 这里的两个行列 式分别是 和 的 最高阶非零子式 5 5 说明 根据行列式的展开法则知 在 中当所有 阶 子式全为零时 所有高于 阶的子式也全为0 因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式 矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数 这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征 当矩阵 中有某个 阶子式不为0 则 当矩阵 中所有 阶子式都为0 则 6 6 矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数 这也 可以作为矩阵的秩定义 但是这样定义矩阵的秩 不能清楚表明矩阵的特征 对于 阶矩阵 当 时 称为满
3、秩 矩阵 否则称为降秩矩阵 由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 当 时 所以可逆矩阵的秩等于矩阵 的阶数 可逆矩阵又称满秩矩阵 不可逆矩阵又 称降秩矩阵 7 7 三 三 矩阵的秩的计算矩阵的秩的计算 定理 若 则 即两个等价矩阵的秩相等 说明 根据此定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩 证明 8 8 所以 大多情况下只 用初等行变换 不用初等列 变换 9 9 例2 设 求矩阵 的秩 并求 的一个最高阶非零子式 解析 根据定理 为求 的秩 只需将 化为 行阶梯形矩阵 1010 再求 的一个最高阶非零子式 因此 在 中 找一个3阶非零
4、子式是比较 容易的 另外注意到 的子式都是 的子式 所 以易求得的一个最高阶非零子式 1111 说明 最高阶非零子式一般是不唯一的 上述找最高非零子式的方法是一般方法 另外 观察法也是常用的方法 1212 例3 设 已知 求 与 的值 解 析 这是一道已知矩阵的秩 讨论其中参数 的值的题目 一般有两个途径 一是利用行列 式 二是用初等变换 当 时 的3阶 子式全为零 从而可以计算出参数的值 下面 用初等变换解答此题 1313 因为 故 即 说明 此方法就是 用初等变换 将矩阵化为比较简 单的矩阵 然后根据矩阵的秩进行讨论 1414 例4 设 求矩阵 及矩阵 的秩 解 析 此题中矩阵 的前4列与
5、 的列相同 如 果用初等行变换将 化为行阶梯形 则 就是 的行阶梯形 故从 中可同时看出 及 1515 由此可见 1616 注 把此题中的 看作方程组的系数矩阵 看作 常数项列 则 就是增广矩阵 由 的行阶梯 形矩阵知 这个方程组 无解 因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程 1717 四 矩阵的秩的性质四 矩阵的秩的性质 若 为 矩阵 则 若 则 若 可逆 则 特别地 当b为列矩阵时 有 即 分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩 不 超过所有子块的秩之和 证明 1818 若 则 1919 例5 设 为 阶矩阵 证明 证因为 由性质 有 而 所以 2020 例6 设 为 矩阵 为 矩阵 证明 证根据性质 有 而 为 阶矩阵 所以 2121 作业 P78 79 2 2 4 5 2222
