《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：9.4变量间的相关关系与统计案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：9.4变量间的相关关系与统计案例（109页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 变量间的相关关系与统计案例 教材基础回顾 1 相关关系与回归方程 1 相关关系的分类 正相关 从散点图上看 点散布在从 到 的区域内 左下角右上角 负相关 从散点图上看 点散布在从 到 的区域内 2 线性相关关系 如果散点图中点的分布从整体上看 大致在 附近 则称这两个变量之间具有线性 相关关系 这条直线叫做 左上角右下角 一条直线 回归直线 3 回归方程 最小二乘法 使得样本数据的点到回归直线的 最小的方法叫做最小二乘法 距离 的平方和 回归方程 两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 其回归方程为 则 其中 是回归方程的 是在y轴上的 斜率截距 4
2、 样本相关系数 r 用它来衡量两个变量间的 线性相关关系 当r 0时 表明两个变量 当r0 75时 认为两个变量有 很强的线性相关关系 越 强 2 残差分析 1 残差 对于样本点 x1 y1 x2 y2 xn yn 它 们的随机误差为ei yi bxi a i 1 2 n 其估计值为 i yi i yi xi i 1 2 n i称为相应于点 xi yi 的残差 2 残差平方和为 3 相关指数 R2 1 3 独立性检验 1 2 2列联表 假设有两个分类变量X和Y 它们的值域分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数 列联表 称2 2列联表 为 y1y2总计总计 x1ab x2cdc d 总计
3、总计a c a b c d a b b d 2 K2统计量 K2 其中n a b c d为样本容量 金榜状元笔记 1 两种关系 函数关系与相关关系 1 区别 函数关系是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种因果关系 相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系 2 联系 对线性相关关系求回归方程后 可以通过确定的函数关系对两个变量间的取值 进行估计 2 回归直线方程的两个关注点 1 样本数据点不一定在回归直线上 回归直线必过 点 2 在回归直线方程 中 0时 两个变量呈 正相关关系 10 828 故能在犯错误的概率不超过0 001的前提下认为 打鼾与患心脏病有关 答案 0 0
4、01 4 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点图中 若所有样本 点 xi yi i 1 2 n 都在直线y 1 x上 则 R2 解析 因为R2越接近于1 表示回归的效果越好 所以根据本题题意可知R2 1 答案 1 母题变式溯源 题题 号 知识识点源自教材 1线线性回归归方程的 应应用 必修3P90 例题题 2求线线性回归归方程必修3P94 T3 3独立性检验检验P95 例1 4相关指数的应应用P89 练习练习 3 考向一 相关关系的判断 典例1 1 下列两变量中不存在相关关系的是 人的身高与视力 曲线上的点与该点的坐标之间的关系 某农田的
5、水稻产量与 施肥量 某同学考试成绩与复习时间的投入量 匀速行驶的汽车的行驶距离与时 间 商品的销售额与广告费 A B C D 2 已知变量x和y满足关系y 0 1x 1 变量y与z正相关 下列结论中正确的是 A x与y正相关 x与z负相关 B x与y正相关 x与z正相关 C x与y负相关 x与z负相关 D x与y负相关 x与z正相关 3 对变量x y有观测数据 xi yi i 1 2 3 4 5 得表1 对变量u v有观测数据 ui vi i 1 2 3 4 5 得表2 由这两个表可以判断 A 变量x与y正相关 u与v正相关 B 变量x与y负相关 u与v正相关 C 变量x与y负相关 u与v负相
6、关 D 变量x与y正相关 u与v负相关 解析 1 选A 人的身高与视力无任何关系 故 不存在相关关系 曲线上的点与该点的坐标之间 存在一一对应的关系 故 不存在相关关系 某农田的水稻产量与施肥量 两变量有关系 但不确定 故存在相关关系 某同学考试成绩与复习时间的投入量 两变量有关系 但不确定 故存在相关关系 匀速行驶的汽车的行驶距离与时间 它们之间的关系是函数关系 故不存在相关关 系 商品的销售额与广告费 两变量有关系 但不确定 故 存在相关关系 2 选C 因为y 0 1x 1的斜率小于0 故x与y负相关 因为y与z正相关 可设z y 0 则z y 0 1 x 故x与z负相关 3 选D 由题可
7、知 随着x的增大 对应的y值增大 其散点图呈上升趋势 故x与y正相关 随着u的增大 v减小 其散点图呈下降趋势 故u与v负相关 技法点拨 判断相关关系的两种方法 1 散点图法 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近 变量之间就有相关关系 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 2 相关系数法 利用相关系数判定 r 越趋近于1相关性越强 同源异考 金榜原创 1 对变量x y有观测数据 xi yi i 1 2 10 得散 点图如图 对变量u v有观测数据 ui vi i 1 2 10 得散点图如图 由这两个散点图可以判断 A 变量x与y正相关 u与v正相关 B 变量x与y正
8、相关 u与v负相关 C 变量x与y负相关 u与v正相关 D 变量x与y负相关 u与v负相关 解析 选C 由散点图可得两组数据均线性相关 且图 的线性回归方程斜率为负 图 的线性回归方程斜率为正 则由散点图可判断变量x与y负相关 u与v正相关 2 下列语句表示的事件中的因素具有相关关系的是 填序号 1 瑞雪兆丰年 2 名师出高徒 3 喜鹊叫喜 乌鸦叫丧 4 头发长见识短 5 树老根多 人老识多 解析 瑞雪对小麦有好处 可能使得小麦丰收 所以瑞雪兆丰年具有相关关系 名师出高徒 树老根多 人老识多也具有相关关系 而喜鹊叫喜 乌鸦叫丧 头发长度与见识短则没有必然的关系 答案 1 2 5 考向二 独立性
9、检验 典例2 1 2018 南昌模拟 随着国家二孩政策的全面放开 为了调查一线城市和非一 线城市的二孩生育意愿 某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女 结果如表 附表 P K2 k0 0 050 0 010 0 001 k0 3 841 6 635 10 828 由K2 算得 K2 9 616 参照附表 得到的正确结论是 A 在犯错误的概率不超过0 001的前提下 认为 生育意愿与城市级别有关 B 在犯错误的概率不超过0 001的前提下 认为 生育意愿与城市级别无关 C 在犯错误的概率不超过0 01的前提下 认为 生育意愿与城市级别有关 D 在犯错误的概率不超过0 01的前提
10、下 认为 生育意愿与城市级别无关 2 2018 运城模拟 某科考试题中有甲 乙两道不同类型的选做题 且每道题满分为10 分 每位考生需从中任选一题作答 A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下 选甲题8次 得分分别为 6 10 10 6 6 10 6 10 选乙题10次 得分分别为 5 10 9 8 9 8 10 8 5 8 某次考试中 A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲 乙两题中的某一道题 他应该选 择甲题还是乙题 某次考试中 某班40名同学中选择甲 乙两题的人数相等 在16名该选做题获得满分 的同学中有10人选的是甲题 求能否在犯错误的概率不超过1 的情况下 判断该选做题 得满分
11、与选题有关 参考公式 K2 参考数据 P K2 k0 0 10 010 001 k02 7066 63510 828 解析 1 选C 由题意K2的观测值 9 616 6 635 所以在犯错误的概率不超过0 01 的前提下认为 生育意愿与城市级别有关 2 计算甲 乙两题得分的平均数分别为 6 10 10 6 6 10 6 10 8 5 10 9 8 9 8 10 8 5 8 8 甲 乙两题得分的方差为 6 8 2 10 8 2 4 5 8 2 8 8 2 2 8 因此选择乙题更加稳妥 根据题意 填写2 2列联表如下 甲乙总计 满分10616 非满分101424 总计202040 因此K2的观测值
12、k 1 667 6 635 则不能在犯错误的概率不超过1 的情况下 判断该选做题得满分与选题有关 答题模板微课 本例 2 的第 问求解过程 可模板化为 建模板 根据题意得到列联表 甲乙总计总计 满满分10616 非满满分101424 总计总计202040 画2 2列联表 K2的观测值k 1 667 计算K2 由于1 6676 635 计算K2 查表得P K2 6 635 0 010 所以能在犯错误的概率不超过0 01的前提下 认为该企业员工 性别 与 工作是否满意 有关 作答 技法点拨 独立性检验的一般步骤 1 根据样本数据列出2 2列联表 2 计算随机变量K2的观测值k 查下表确定临界值k0
13、 3 如果k k0 就推断 X与Y有关系 这种推断犯错误的概率不超过P K2 k0 否则 就认为 在犯错误的概率不超过P K2 k0 的前提下不能推断 X与Y有关 同源异考 金榜原创 1 假设有两个分类变量X和Y的2 2列联表 对同一样本 以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为 世纪金榜导学号 12560326 A a 45 c 15 B a 40 c 20 C a 35 c 25 D a 30 c 30 解题指南 根据题意 a c相差越大 与 相差就越大 由此得出X与Y有关系的可能性越大 解析 选A 根据2 2列联表与独立性检验的应用问 题 当 与 相差越大 X与Y有关系的可能性越
14、大 即a c相差越大 与 相差越大 2 为考察某种疫苗预防疾病的效果 进行动物试验 得到统计数据如下 世纪金榜 导学号12560327 未发发病 发发病 总计总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计总计 50 50 100 现从所有试验动物中任取一只 取到 注射疫苗 动 物的概率为 1 求2 2列联表中的数据x y A B的值 2 绘制发病率的条形统计图 并判断疫苗是否影响到了发病率 3 能够在犯错误的概率不超过多少的前提下认为疫苗有效 附 K2 n a b c d P K2 k0 0 05 0 01 0 005 0 001 k0 3 841 6 635 7 879 10
15、828 解析 1 设 从所有试验动物中任取一只 取到 注射疫苗 动物 为事件A 由已知得P A 所以y 10 则B 40 x 40 A 60 2 未注射疫苗发病率为 0 67 注射疫苗发病率为 0 25 发病率的条形统计图如图所示 由图可以看出疫苗影响到了发病率 3 K2 16 67 10 828 所以在犯错误的概率不超过0 001的前提下认为疫苗有效 考向三 线性回归方程 高频考点 典例3 1 2017 山东高考 为了研究某班学生的 脚长x 单位 厘米 和身高y 单位 厘米 的关系 从该班 随机抽取10名学生 根据测量数据的散点图可以看出y 与x之间有线性相关关系 设其回归直线方程为 已知
16、xi 225 yi 1 600 4 该班某学生的脚 长为24 据此估计其身高为 世纪金榜导学号12560328 A 160 B 163 C 166 D 170 2 为了均衡教育资源 加大对偏远地区的教 育投入 调查了某地若干户家庭的年收入x 单位 万元 和年教育支出y 单位 万元 调查显示年收入x与年教育 支出y具有线性相关关系 并由调查数据得到y对x的回归 直线方程 0 15x 0 2 由回归直线方程可知 家庭年 收入每增加1万元 年教育支出平均增加 万元 3 下表是高三某位文科生连续5次月考的历史 政治的成绩 结果统计如下 月份91011121 历历史x 分 7981838587 政治y 分 7779798283 一般来说 学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关 根据上表提供的数据 求两个 变量x y的线性回归方程 解析 1 选C 22 5 160 160 4 22 5 70 则回归直线方程为 4x 70 所以该学生的身高为 4 24 70 166 2 回归直线的斜率为0 15 所以家庭年收入每增加1万 元 年教育支出平均增加0 15万元 答案 0 15 误区警示 解答本题容易出
