《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：10.3二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：10.3二项式定理（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 二项式定理 教材基础回顾 1 二项式定理 a b n n N 2 二项展开式的通项与二项式系数 Tk 1 其中 是第k 1项的二项式系数 k 0 1 2 n 3 二项式系数的性质 中间一项 中间两项 金榜状元笔记 1 一对易混概念 二项展开式中第r 1项的 1 二项式系数是 2 项的系数是该项的数字因数 2 两个常用公式 1 2n 2 2n 1 3 三个重要特征 1 字母a的指数按降幂排列由n到0 2 字母b的指数按升幂排列由0到n 3 每一项字母a的指数与字母b的指数和等于n 教材母题变式 1 的展开式的中间一项的系数为 A 20 B 20 C 160 D 160 解析 选D 中间项
2、为T3 1 2 的展开式中常数项为 解析 选B 二项展开式的通项为Tk 1 令4 k 0 解得k 4 所以 3 若 1 ax 7 a 0 的展开式中x5与x6的系数相等 则a 解析 展开式的通项为Tr 1 ax r 因为x5与x6系数相等 所以 解得a 3 答案 3 4 2016 全国卷 2x 5的展开式中 x3的系数 是 用数字填写答案 解析 Tk 1 2x 5 k k 25 k 由5 3 得k 4 所以T4 1 2 x3 10 x3 答案 10 母题变式溯源 题题 号 知识识点源自教材 1通项项公式 P37 A组组 T4 3 2通项项公式 P37 A组组 T5 2 3二项项式定理 P37
3、A组组 T8 4通项项公式P31 例2 2 考向一 二项式定理的应用 典例1 1 2018 保定模拟 化简 x 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 5x 4为 A x5B x5 1 C x 1 5 1D x 1 5 1 2 2018 临沂模拟 489被7除的余数为 解析 1 选A 原式 x 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 x 1 1 5 x5 2 由489 49 1 9 499 498 1 497 1 2 49 1 8 1 9 49 498 497 1 496 1 2 1 8 7 6 知489被7除的余数为6 答案 6 技法点拨 二项式定理的应用 1 正用 展开可以
4、研究整除问题 2 逆用 可以化简多项式 同源异考 金榜原创 1 等于 A 3n B 2 3n C 1 D 解析 选D 因为 1 2 n 所以 2 若512 018 a a N 且a 13 能被13整除 则a 世纪金榜导学号12560341 解析 因为512 018 a 52 1 2 018 a 522 018 522 017 1 522 016 1 2 52 1 2 017 1 a 又52 13 4 a N 且a 13 所以a 1 13 即a 12 答案 12 考向二 二项展开式的通项公式的应用 高频考点 典例2 1 2017 全国卷 1 x 6展开式 中x2的系数为 A 15B 20 C 3
5、0D 35 2 2018 衡水模拟 若 的展开式中x5的系 数是80 则实数a 解析 1 选C 1 x 6展开式中含x2的项为1 x2 x4 30 x2 故x2的系 数为30 2 Tk 1 ax2 5 k 1 ka5 k 由10 k 5 得k 2 所以 1 2 a3 80 解得a 2 答案 2 答题模板微课 求展开式中特殊项的模板化过程 本例 1 的求解过程可模板化为 建模板 转化为求 1 x 6的展开式中x2项和x4项 转化 Tk 1 xk 通项公式 令k 2 4得 原展开式中x2的系数为 30 求解 套模板 x 1 5展开式中x3的系数为 解 原式 x 1 5 x 1 6 转化为求 x 1
6、 6的展开式中x4的系数 转化 Tk 1 x6 k 1 k 1 k x6 k 通项公式 令6 k 4 得k 2 所以原展开式中x3的系数为 1 2 15 求解 答案 15 一题多变 1 若本例 2 中条件不变 求其展开式中的常数项 解析 由例 2 的解法知 10 k 0 解得k 4 所以展开式中的常数项为 1 4a 2 5 10 2 若本例 2 中的展开式第三项的系数是第一项系数 的 求其展开式中 项的系数 解析 因为T3 ax2 3 a3 x5 10a3x5 所以由题意 得10a3 a5 即a2 100 a 10 Tk 1 ax2 5 k 1 ka5 k 由 得k 1 所以 的系数为 a4
7、5a4 50 000 技法点拨 求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤 1 利用通项公式将Tk 1项写出并化简 2 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出k 3 代回通项得所求 4 对于三项式问题或几个多项式积的问题 可转化为二项式问题求解 同源异考 金榜原创 命题点1 求二项展开式中特定项的系数 1 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 A 10B 20C 30D 60 解析 选C x2 x y 5 x2 x y 5 令y2的项为T3 x2 x 3 y2 其中 x2 x 3中含x5的项为 x4 x x5 所以x5y2的系数为 30 2 在 1 2x
8、 6的展开式中 x2的系数为 用数字作答 解析 Tk 1 2x k 2 k xk 由题意知k 2 所以x2的系数为 2 2 60 答案 60 命题点2 二项展开式中的含参问题 3 在 的展开式中 如果x3的系数为20 那么 ab3 A 5B 10C 15D 20 解析 选A Tk 1 ax6 4 k a4 k bk x24 7k 由24 7k 3 得k 3 所以x3的系数为ab3 20 即ab3 5 4 已知 的展开式中第四项是含x 3的项 则x 3 项的系数是 世纪金榜导学号12560342 解析 因为T3 1 所以由题意 得6 n 3 即n 9 所以x 3项的系数是 答案 考向三 二项式系
9、数的性质与各项的和 典例3 1 2018 石家庄模拟 在 1 2x n的展开式中 偶数项的二项式系数之和为128 则展开式二项式系数最大的项为 2 2015 全国卷 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32 则 a 世纪金榜导学号12560343 解析 1 由二项式系数的性质知 2n 1 128 解得n 8 1 2x 8的展开式共有9项 中间项 即第5项的二项式系 数最大 T4 1 14 2x 4 1 120 x4 答案 1 120 x4 误区警示 切记二项式系数与项的系数的区别 不要把二者混为一谈 2 由已知得 1 x 4 1 4x 6x2 4x3 x4 故 a x 1 x
10、 4的展开式中x的奇数次幂项分别 为4ax 4ax3 x 6x3 x5 其系数之和为4a 4a 1 6 1 32 解得a 3 答案 3 一题多解 本例 2 还可用如下方法求解 设出 a x 1 x 4的展开式 利用赋值法求解 设 a x 1 x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 令x 1 得 a 1 24 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 2 32 所以a 3 答案 3 一题多变 若将本例 2 的条件不变 试求其展开式中各项系数之和 解析 由例 2 的解析知a 3 所以 a x
11、1 x 4 3 x 1 x 4 赋值x 1 得 其展开式中各项 系数之和为 3 1 1 1 4 26 64 技法点拨 赋值法的应用 1 形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子 求其展开式的各项系数之和 只需令x 1即可 2 形如 ax by n a b R 的式子 求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 拓展 二项展开式各项系数和 奇数项系数和与偶 数项系数和的求法 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 的展开式中 1 各项系数之和为f 1 2 奇数项系数之和为a0 a2 a4 3 偶数项系数之和为a1 a3 a5 同源异考 金榜原创 1 n N 的
12、展开式中只有第6项系数最大 则其常数项为 A 120B 210C 252D 45 解析 选B 由已知得 二项式展开式中各项的系数和 二项式系数相等 由展开式中只有第6项的系数 最大 可得展开式有11项 即2n 10 n 5 展开式的通项为Tr 1 令5 r 0可得r 6 此时T7 210 2 已知 x 1 10 a0 a1 2 x a2 2 x 2 a10 2 x 10 则a8 a1 a2 a10 用 数字作答 310 59 049 210 1 024 世纪金榜导学号12560344 解析 x 1 10 3 2 x 10 a0 a1 2 x a2 2 x 2 a10 2 x 10 所以a8 3
13、2 405 令x 1得210 a0 a1 a2 a10 又a0 310 所以a1 a2 a10 210 310 1 024 59 049 58 025 答案 405 58 025 3 设 的展开式的各项系数之和为M 二项式系 数之和为N 若M N 240 则展开式中含x的项为 世纪金榜导学号12560345 解析 由已知条件4n 2n 240 解得n 4 Tr 1 1 r54 r 令4 1 得r 2 T3 150 x 答案 150 x 核心素养系列 六十六 数学运算 二项式定理中的核心素养 以二项式定理的展开式及通项公式为依据 求二项展开式的特定项或其系数 其实 质就是套公式进行 数学运算 计算要准确 迅速 典例 2017 全国卷 x y 2x y 5的展开式中x3y3的系数为 A 80 B 40 C 40 D 80 解析 选C 由二项式定理可得 原式展开式中含x3y3的项为 x 2x 2 y 3 y 2x 3 y 2 40 x3y3 80 x3y3 40 x3y3 故展开式中x3y3的系数为40
