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1、东北四校 2012 届第一次高考模拟考试数 学 试 题（理）考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚；2选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。参考公式：圆锥侧面积 Srl第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5
2、分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合 中含有的元素个数为 （ ）*12|xNZA4 B6 C8 D122已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是（ ）221ykA B C D1,(,)(1,2)1,23下列有关命题的说法中，正确的是 （ ）A命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”21x2xB命题“若 ”的逆命题为真命题,tant则C命题“ ”的否定是“ ”20xRx使 得 2,10xRx都 有D “ ”是“ ”的充分不必要条件124 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可2.5PM入肺颗粒物，右图是据北京某日早
3、 7 点至晚 8 点甲、乙两个 2.5PM监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 （ ）A甲 B乙C甲乙相等 D无法确定5若 ，则 a 的值是 （ ）1(2)3ln2(1)axdA2 B3C4 D66某程序框图如右图所示，则输出的结果是 （ ）A43 B 44C45 D467已知 a，b 是两个互相垂直的单位向量，且 ，1,|2cabc则对任意的正实数 t， 的最小值是 （ ）1|ctabA2 BC4 D 428一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A 162B 8
4、CD 29过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于 A，B 两点，设双曲线的左顶点 M，若 是直角三角形，则此双曲线的离心率 e 的值为 （ ）ABA B2 C D32 2310如下图，给定两个平面向量 ，它们的夹角为 ，点 C 在以 O 为圆心的圆O和 10弧 AB 上，且 （其中 ） ，则满足 的概率为（ CxAy,xyR2xy）A B2134C D411已知定义在 R 上的奇函数 ，设其导函数 ，当 时，恒有()fx()fx,0，令 ，则满足 的实数 x 的取值范围是()xffxF321)F（ ）A （-1，2） B C D （-2，1）1(,)2(,)12已知 ，且函数
5、恰有 3 个不同的零点，则实240()(axff2yfx数 a 的取值范围是 （ ）A-4，0 B C D8,4,(0,)第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题后的横线上。13已知 i 为虚数单位，则复数 的虚部是 。13i14已知函数 ，若 是 的一个单调递增区间，()2sin()|fxx5,8()fx则 的值为 。15给出下列不等式： ，1131, , 223725 ，则按此规律可猜想第 n 个不等式为 。152316在 中， 是 AB 边上的一点，CD=2 ， 的面积为 4，ABC0,BD BCD则 AC 的长为
6、。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知 为等比数列， 为等差数列 的前 n 项和，na16,243,naSb153,.bS（1）求 的通项公式；nab和（2）设 ，求12nTab .nT18 （本小题满分 12 分）哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干。根据以往对 500 名 40 岁以下（含 40 岁）人员和 500 名 40 岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40 岁以下（含 40 岁）人员购买热饮等食品的有 260人，不购买热饮食品的有 240 人；4
7、0 岁以上人员购买热饮等食品的有 220 人，不购买热饮等食品的有 280 人，请根据以上数据作出 2 2 列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？注：要求达到 99.9%的把握才能认定为有关系。s19 （本小题满分 12 分）已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是正三角形，侧面 ABB1A1 是菱形，且 ，160ABM 是 A1B1 的中点， .（1）求证： 平面 ABC；（2）求二面角 A1BB1C 的余弦值。20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 M 的中心为坐标原点 ，且焦点在 x 轴上，若 M 的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
8、M 的离心率 ，过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 ，28yx12e l交 M 于 A，B 两点。（1）求椭圆 M 的标准方程；（2）设点 N（t，0 ）是一个动点，且 ，求实数 t 的取值范围。()NAB21 （本小题满分 12 分）已知函数 在 处取得极值为 2，设函数 图象上任意一点2()axfb1()yfx处的切线斜率为 k。0(,x（1）求 k 的取值范围；（2）若对于任意 ，存在 k，使得 ，求证：120x21()fxf102|.x请考生在第 22、23 、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图
9、， 相交于 A、B 两点，AB 是 的直径，过 A 点作 的切线交12OA与 2OA1O于点 E，并与 BO1 的延长线交于点 P，PB 分别与 、 交于 C，D 两点。2 12求证：（1）PAPD=PEPC；（2）AD=AE。23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 ，过点 A（5，） （ 为锐角且 ）2:sincosL 3tan4作平行于 的直线 ，且 与曲线 L 分别交于 B，C 两点。()Rl（1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线 L 和直线 的普通方程；l（2）求|BC| 的长。24 （本小
10、题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知关于 x 的不等式 （其中 ） 。2|21|logxa0（1）当 a=4 时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围。参 考 答 案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D B A C B D B B A C二、填空题：13 14 15 16 或 14213121nn 24三、解答题：17 （ ） （3 分） 13na（6 分） 2bn（） 12331351 nnT nn 232-得： （9 分）nn 31331整理得： （12 分） T18 由题得 列联表2购买热饮等食品 不购买热饮
11、等食品 总计40 岁以下 260 240 50041 岁以上 220 280 500总计 480 520 1000（4 分）（10 分） 22106280455K10.682.所以没有 99.9的把握认定为有关系 （12 分）19 （ ）侧面 是菱形且 为正三角形1ABo1B1AB又点 为 的中点 M1MA1CBA B1C1MH AB1MAB由已知 平面 （4 分）CC（） （法一）连接 ，作 于 ，连接11HH1由（）知 面 ，1ABB又 面 1MHMC1 为所求二面角的平面角 （8 分）C设菱形 边长为 2，则1AB31在 中，由 知：Rt1BH123H在 中， MCt1tan11MC5c
12、os1C即二面角 的余弦值为 （12 分）1AB5（法二）如图建立空间直角坐标系设菱形 边长为 2 1AB得 ，10,30,，,C1,则 ，10,3BA0,2BA，,3,1C设面 的法向量 ，由 , 得1,nxyz1nBA1，令 ，得 （8 分）1203yz11,0A1CBA B1C1Mzxy设面 的法向量 ， 由 ， 得1BC22,nxyz21nB2C,令 ，得 （10 分）230yzx32 ,32得 .51,cos2121 nn又二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 （12 分）1ABC 520 （ ）椭圆 的标准方程： （4 分）M1342yx（）设 ， ，设1,yxA2,B:ml0,R342m9642y由韦达定理得 （6 分）3221myABN)( N211ytx2ytx02122将 ， 代入上式整理得：1myxyx，由 知2121 tm21y，将代入得 （10 分）022ty 43mt所以实数 （12 分）t4,021 （ ） 2bxaf由 及 得， （2 分）01f2f1,4ba 202004xxfk设 ， 得 （4 分）t2011,4,k（） ，令24xf 1,0xf的增区间为 ，故当 时， .f1,21012xff即 ，故 （6 分）0k,
