《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 9.4 直线、圆的位置关系导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 9.4 直线、圆的位置关系导学案 理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_、_、_.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式 ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后，计算判别式 (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr_.2圆的切线方程若圆的方程为 x2 y2 r2，点 P(x0， y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2 y2 r2相切的切线方程为_注：
2、点 P 必须在圆 x2 y2 r2上经过圆( x a)2( y b)2 r2上点 P(x0， y0)的切线方程为_3计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB| |xA xB|1 k2 . 1 k2 xA xB 2 4xAxB说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_、_、_、_、_.判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为 O1、 O2，半径为 r1、 r2 (r1 r2)，则|O1O2|r1 r2 _；| O1
3、O2| r1 r2 _；| r1 r2|0)的公共弦的长为 2 ，则3a_.7(2011三明模拟)已知点 A 是圆 C： x2 y2 ax4 y50 上任意一点， A 点关于直线 x2 y10 的对称点也在圆 C 上，则实数 a_.8(2011杭州高三调研)设直线 3x4 y50 与圆 C1： x2 y24 交于 A， B 两点，若圆 C2的圆心在线段 AB 上，且圆 C2与圆 C1相切，切点在圆 C1的劣弧 上，则圆 C2的半径的最大值是_三、解答题(共 38 分)9(12 分)圆 x2 y28 内一点 P(1,2)，过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 交圆于 A、 B 两点(1)
4、当 时，求 AB 的长；34(2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程610(12 分)(2011湛江模拟)自点 A(3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 y24 x4 y70 相切，求光线 l 所在直线的方程11(14 分)已知两圆 x2 y22 x6 y10 和 x2 y210 x12 y m0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长学案 50直线、圆的位置关系自主梳理1相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离2.x0xy 0yr 2(x 0a)(
5、xa)(y 0b)(yb)r 24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x 2y 2D 1xE 1yF 1)(x 2y 2D 2xE 2yF 2)0自我检测1 A2. D3. B4. B5. B课堂活动区例 1解题导引(1)过点 P 作圆的切线有三种类型：当 P 在圆外时，有 2 条切线；当 P 在圆上时，有 1 条切线；当 P 在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线，切点为 M，半径为 R，则|PM| .|PC|2 R2解(1)将圆 C 配方得(x1) 2
6、(y2) 22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx，由 ，解得 k2 ，得 y(2 )x.|k 2|1 k2 2 6 6当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由 ，| 1 2 a|2 27得|a1|2，即 a1，或 a3.直线方程为 xy10，或 xy30.综上，圆的切线方程为 y(2 )x，或 y(2 )x，6 6或 xy10，或 xy30.(2)由|PO|PM|，得 x y (x 11) 2(y 12) 22，21 21整理得 2x14y 130.即点 P 在直线 l：2x4y30 上当|PM|取最小值时，即 OP 取得最小值，直线 OPl，直线 OP
7、 的方程为 2xy0.解方程组Error!得点 P 的坐标为 .(310， 35)变式迁移 1解设圆切线方程为 y3k(x2)，即 kxy32k0，1 ，|k 2 2k|k2 1k ，另一条斜率不存在，方程为 x2.34切线方程为 x2 和 3x4y60.圆心 C 为(1,1)，k PC 2，3 12 1过两切点的直线斜率为 ，又 x2 与圆交于(2,1)，12过切点的直线为 x2y40.例 2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点 C 到 l 的距离为 d，圆的半径为 r.方法一代数法：弦长|AB| |x
8、2x 1|1 k2 ；1 k2 x1 x2 2 4x1x2方法二几何法：弦长|AB|2 .r2 d2(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)方法一如图所示，|AB|4 ，取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CDAB，连接 AC、BC，3则|AD|2 ，|AC|4，3在 RtACD 中，可得|CD|2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx，即kxy50.由点 C 到直线 AB 的距离公式，得 2，| 2k 6 5|k2 1 2解得 k .34当 k 时，直线 l 的方程为 3x4y200.34又直线
9、l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0.所求直线的方程为 3x4y200 或 x0.8方法二当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx，即 ykx5.联立直线与圆的方程Error!消去 y，得(1k 2)x2(42k)x110.设方程的两根为 x1，x 2，由根与系数的关系，得Error!由弦长公式，得 |x1x 2|1 k2 4 . 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 3将式代入，解得 k ，34此时直线方程为 3x4y200.又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x0. 所求直线的方程为 x0 或 3x4y200.(2)设过 P 点的圆 C
10、 的弦的中点为 D(x，y)，则 CDPD，即 0，CD PD (x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2y 22x11y300.变式迁移 2(1)证明由 kxy4k30，得(x4)ky30.直线 kxy4k30 过定点 P(4,3)由 x2y 26x8y210，即(x3) 2(y4) 24，又(43) 2(34) 220，b 26b90.即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy10.变式迁移 4解(1)方法一直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k，直线 l 的方程为 ykx1.将其代入圆 C：(x2) 2(y3) 21，得(1k 2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)
11、 24(1k 2)70，得 k .4 73 4 73方法二同方法一得直线方程为 ykx1，即 kxy10.又圆心到直线距离 d ，|2k 3 1|k2 1 |2k 2|k2 1d 1，解得 k .|2k 2|k2 1 4 73 4 73(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由得Error!， x 1x2y 1y2(1k 2)x1x2k(x 1x 2)1OM ON 10 812k1(经检验符合题意)，k1.4k 1 k1 k2课后练习区1 C2. C3. D4. A5. D617.108.19解(1)当 时，k AB1，34直线 AB 的方程为 y2(x1)，即 xy10.(3
12、分)故圆心(0,0)到 AB 的距离 d ，|0 0 1|2 22从而弦长|AB|2 .(6 分)8 12 30(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 22，y 1y 24.由Error!两式相减得(x 1x 2)(x1x 2)(y 1y 2)(y1y 2)0，即2(x 1x 2)4(y 1y 2)0，k AB .(10 分)y1 y2x1 x2 12直线 l 的方程为 y2 (x1)，12即 x2y50.(12 分)10.解已知圆 C：x 2y 24x4y70 关于 x 轴对称的圆为 C1：(x2) 2(y2)21，其圆心 C1的坐标为(2，2)，半径为 1，由光的反
13、射定律知，入射光线所在直线方程与圆 C1相切(4 分)设 l 的方程为 y3k(x3)，则1，(8 分)|5k 2 3|12 k2即 12k225k120.k 1 ，k 2 .43 34则 l 的方程为 4x3y30 或 3x4y30.(12 分)11解两圆的标准方程分别为(x1) 2(y3) 211，(x5) 2(y6) 261m，圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 和 .11 61 m(1)当两圆外切时， . 5 1 2 6 3 2 11 61 m解得 m2510 .(4 分)11(2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离，故只有 5.11 61 m 11解得 m2510 .(8 分)11(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y 22x6y1)(x 2y 210x12y45)0，即 4x3y230.(12 分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为112 2 .(14 分) 11 2 |4 33 23|42 32 2 7
