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1、1基本不等式及其应用导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题自主梳理1基本不等式 aba b2(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号2几个重要的不等式(1)a2 b2_ ( a， bR)(2) _( a， b 同号)ba ab(3)ab 2 (a， bR)(a b2 )(4) 2_ .(a b2 ) a2 b223算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_.4利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当
2、_时， x y 有最_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当_时， xy 有最_值是_(简记：和定积最大)自我检测1 “ab0”是“ ab0， a 恒成立，则 a 的取值范围为xx2 3x 1_探究点一利用基本不等式求最值例 1(1)已知 x0， y0，且 1，求 x y 的最小值；1x 9y(2)已知 x0， b0， a b2，则 y 的最小值是()1a 4bA. B472C. D592探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例 2已知 a0， b0， a b1，求证：(1 )(1 )9.1a 1b变式迁移 2已知 x0， y0， z0.求证： 8.(yx z
3、x)(xy zy)(xz yz)3探究点三基本不等式的实际应用例 3(2011镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048 x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 )购 地 总 费 用建 筑 总 面 积变式迁移 3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份
4、额，拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3 x 与 t1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数(2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本
5、促销费，生产成本固定费用生产费用)1 a2 b22 ab 对 a、 bR 都成立； 成立的条件是 a， bR ； 2 成a b2 ab ba ab立的条件是 ab0，即 a， b 同号2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数 y ax，当 a0， b0 时，函数bx在(，0)，(0，)上是减函数；当 a0， b0 时函数在 ， 上是 ba， 0) (0， ba减函数，在 ， 上是增函数；当 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为()31a 1
6、bA8 B4 C1 D.142(2011鞍山月考)已知不等式( x y) 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实(1x ay)数 a 的最小值为()A2 B4 C6 D83已知 a0， b0，则 2 的最小值是()1a 1b abA2 B2 C4 D524一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于 2 km，那么这批货物全部运到 B 市，(a20)最快需要()A6 h B8 h C10 h D12 h5(2011宁波月考)设 x， y 满足约束条件Error!，若目标函数 z ax by (a
7、0， b0)的最大值为 12，则 的最小值为()2a 3bA. B. C. D4256 83 113二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(2010浙江)若正实数 x， y 满足 2x y6 xy，则 xy 的最小值是_7(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) 的2x图象交于 P， Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_8已知 f(x)3 2x( k1)3 x2，当 xR 时， f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)(1)已知 00)920vv2 3v 1 600(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v
8、为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5 元，每次购买原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原材料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管)(1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用y1关于 x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最小值学案
9、36基本不等式及其应用自主梳理1(1) a0， b0(2) a b2.(1)2 ab(2)2(4)3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1) x y小2 a b2 ab p(2)x y大p24自我检测1A2.A3.C64大2 15. ，)215课堂活动区例 1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等” ， “三相等”就是必须验证等号成立的条件解(1) x0， y0， 1，1x 9
10、y x y( x y)(1x 9y) 1061016.yx 9xy当且仅当 时，上式等号成立，又 1，yx 9xy 1x 9y x4， y12 时，( x y)min16.(2) x0.54y4 x2 314x 5 (5 4x 15 4x)2 31， 5 4x 15 4x当且仅当 54 x ，15 4x即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时， ymax1.(3)由 2x8 y xy0，得 2x8 y xy， 1.2y 8x x y( x y) 10 (8x 2y) 8yx 2xy102 (4yx xy)1022 18，4yxxy当且仅当 ，即 x2 y 时取等号4yx xy又 2x8 y
11、xy0， x12， y6.当 x12， y6 时， x y 取最小值 18.变式迁移 1C a b2， 1.a b2 ( )( ) ( ) 2 (当且仅当 ，即 b2 a1a 4b 1a 4b a b2 52 2ab b2a 52 2abb2a 92 2ab b2a时， “”成立)，故 y 的最小值为 .1a 4b 92例 2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法证明方法一因为 a0， b0， a b1，7所以 1 1 2 .1a a ba ba同理 1 2 .1b
12、ab所以(1 )(1 )(2 )(2 )1a 1b ba ab52( )549.ba ab所以(1 )(1 )9(当且仅当 a b 时等号成立)1a 1b 12方法二(1 )(1 )1 1a 1b 1a 1b 1ab1 1 ，a bab 1ab 2ab因为 a， b 为正数， a b1，所以 ab( )2 ，于是 4， 8，a b2 14 1ab 2ab因此(1 )(1 )189(当且仅当 a b 时等号成立)1a 1b 12变式迁移 2证明 x0， y0， z0， 0，yx zx 2yzx 0，xy zy 2xzy 0.xz yz 2xyz (yx zx)(xy zy)(xz yz) 8.8
13、yzxzxyxyz当且仅当 x y z 时等号成立所以( )( )( )8.yx zx xy zy xz yz例 3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为： 由 题 设 写出 函 数 变 形转 化 利 用 基 本不 等 式 求 得最 值 结 论2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案解(1)依题意得y(56048 x)2 16010 0002 000x56048 x (x10， xN *)10 800x(2) x0，48
14、 x10 800x2 1 440，4810 800当且仅当 48x ，即 x15 时取到“” ，10 800x此时，平均综合费用的最小值为 5601 4402 000(元)8答当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000元变式迁移 3解(1)由题意可设 3 x ，kt 1将 t0， x1 代入，得 k2. x3 .2t 1当年生产 x 万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为 32x332 3.(32t 1)当销售 x(万件)时，年销售收入为150% t.32(32t 1) 3 12由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润 y (t0) t2 98t 352 t 1(2)y
