《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 6.5 数列的综合应用导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 6.5 数列的综合应用导学案 理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用自主梳理1数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想已知数
2、列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求 an时，要对_进行分类讨论2数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求 an还是求 Sn.(2)分期付款中的有关规定在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中规定每期所付款额相同；在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之
3、和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和自我检测1(原创题)若 Sn是等差数列 an的前 n 项和，且 S8 S310，则 S11的值为 ()A12 B18C22 D442(2011汕头模拟)在等比数列 an中， anan1 ，且 a7a116， a4 a145，则等于 ()a6a16A. B.23 32C D16 563若 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把 an的每一项都减去 2 后，得到一个新数列 bn，设 bn的前 n 项和为 Sn，对于任意的 nN *，下列结论正确的是 ()A bn1 3 bn，且 Sn (3n1)12B bn1 3 bn2，且 Sn (3n1)
4、12C bn1 3 bn4，且 Sn (3n1)2 n122D bn1 3 bn4，且 Sn (3n1)2 n124 “嫦娥奔月，举国欢庆” ，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ()A10 秒钟 B13 秒钟C15 秒钟 D20 秒钟5(2011台州月考)已知数列 an的通项为 an ，则数列 an的最大项为 ()nn2 58A第 7 项 B第 8 项C第 7 项或第 8 项 D不存在6(2011南京模拟)设数列 an， b
5、n都是正项等比数列， Sn， Tn分别为数列lg an与lg bn的前 n 项和，且 ，则 logb5a5_.SnTn n2n 1探究点一等差、等比数列的综合问题例 1设 an是公比大于 1 的等比数列， Sn为数列 an的前 n 项和已知 S37，且a13,3 a2， a34 构成等差数列(1)求数列 an的通项；(2)令 bnln a3n1 ， n1,2，求数列 bn的前 n 项和 Tn.变式迁移 1假设 a1， a2， a3， a4是一个等差数列，且满足 04； b432； b2b4256.其中正确命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题例 2(
6、2011温州月考)已知函数 f(x) ，数列 an满足2x 33xa11， an1 f ， nN *，(1an)(1)求数列 an的通项公式；(2)令 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n1 ，求 Tn；(3)令 bn (n2)， b13， Sn b1 b2 bn，若 Sn0)的图象在点( ak， a )处的切线与 x 轴的交点的横坐标2k为 ak1 ，其中 kN *， a116，则 a1 a3 a5_.8把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设 aij (i， jN *)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 a428.若 aij
7、2 009，则 i与 j 的和为_124357681012911131517141618202224三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2011湘潭模拟)已知点(1， )是函数 f(x) ax(a0，且 a1)的图象上一13点，等比数列 an的前 n 项和为 f(n) c，数列 bn(bn0)的首项为 c，且前 n 项和 Sn满足Sn Sn1 (n2)Sn Sn 1(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列 的前 n 项和为 Tn，问满足 Tn 的最小正整数 n 是多少？1bnbn 1 1 0002 00910(12 分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行
8、扶持性技术改造乙企业的经营现状是：每月收入为 45 万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为 3 万元，以后每月递增 2 万元甲公司决定投资 400 万元扶持改造乙企业据预测，改造后乙企业第一个月收入为 16 万元，在以后的 4 个月中，每月收入都比上个月增长 50%，而后每个月收入都稳定在第 5 个月的水平上若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？511(14 分)(2011广东执信中学模拟)已知函数 f(x)满足 f(x y) f(x)f(y)且 f(1) .12(1)当 nN *时，求 f(n)
9、的表达式；(2)设 an nf(n)， nN *，求证： a1 a2 a3 an1， q2， a11.故数列 an的通项为 an2 n1 .(2)由(1)得 a3n1 2 3n， bnln a3n1 ln 2 3n3 nln 2.又 bn1 bn3ln 2， bn是等差数列， Tn b1 b2 bn ln 2.n(b1 bn)2 3n(n 1)2故 Tn ln 2.3n(n 1)2变式迁移 1D设 a1， a2， a3， a4的公差为 d，则 a12 d4，又 04，故(2)正确；a4 a3 d5，所以 b42 a432，故(3)正确；又 a2 a42 a38，所以b2b42 a2 a42 8
10、256，故(4)正确例 2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项 an，观察 Tn特点，求出 Tn.由 an再求 bn从而求 Sn，最后利用不等式知识求出 m.6解(1) an1 f an ，(1an)2an 33an 2 3an3 23 an是以 为公差的等差数列23又 a11， an n .23 13(2)Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n1 a2(a1 a3) a4(a3 a5) a2n(a2n1 a2n1 ) (a2 a4 a2n) 43 43 n(53 4n3 13)2 (2n23 n)49(3)当 n2 时， bn 1an 1an
11、1(23n 13)(23n 13) ，92( 12n 1 12n 1)又 b13 ，92 (1 13) Sn b1 b2 bn 92 (1 13 13 15 12n 1 12n 1) ，92(1 12n 1) 9n2n 1 Sn1， m1，12n即 m 的取值范围是(，1例 3解依题意，第 1 个月月余款为a110 000(120%)10 00020%10%30011 500，第 2 个月月底余款为 a2 a1(120%) a120%10%300，依此类推下去，设第 n 个月月底的余款为 an元，第 n1 个月月底的余款为 an1 元，则 an1 an(120%) an20%10%3001.1
12、8 an300.下面构造一等比数列设 1.18，则 an1 x1.18 an1.18 x，an 1 xan x an1 1.18 an0.18 x.0.18 x300. x ，即 1.18.5 0003an 1 5 0003an 5 0003数列 an 是一个等比数列，公比为 1.18，首项 a1 11 500 5 0003 5 0003 5 0003.29 5003 an 1.18n1 ，5 0003 29 5003 a12 1.1811，5 0003 29 5003 a12 1.181162 396.6(元)，5 0003 29 5003即到年底该职工共有资金 62 396.6 元纯收入有
13、 a1210 000(125%)62 396.612 50049 896.6(元)变式迁移 3解(1)设中低价房的面积形成的数列为 an，由题意可知 an是等差数列，其中 a1250， d50，则 an250( n1)5050 n200，Sn250 n 5025 n2225 n，n(n 1)2令 25n2225 n4 750，即 n29 n1900，而 n 是正整数， n10.到 2020 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米(2)设新建住房面积形成数列 bn，由题意可知 bn是等比数列，其中 b1400， q1.08，则 bn400(1.08) n1 .由题
14、意可知 an0.85bn，即 50n200400(1.08) n1 0.85.当 n5 时， a50.85b6，8满足上述不等式的最小正整数 n 为 6.到 2016 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.课后练习区1C2.B3.B4.B5.D637.218.1079解(1) f(1) a ， f(x) x.(113 (13)分)a1 f(1) c c，13a2 f(2) c f(1) c ，29a3 f(3) c f(2) c ；227又数列 an成等比数列， a1 c，a2a3481 227 23 13 c1；(2分)公比 q ， an n1 2 n， nN *；(3 分)a
