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1、1数列的概念与简单表示法导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数自主梳理1数列的定义按_着的一列数叫数列，数列中的_都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是_的函数，数列的一般形式为：_，简记为 an，其中 an是数列的第_项2通项公式：如果数列 an的_与_之间的关系可以_来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的3数列常用表示法有：_、_、_.4数列的分类：数列按项数来分，分为_、_；按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列 an1 _an；递减数列an1 _an；常数列 a
2、n1 _an.5 an与 Sn的关系：已知 Sn，则 anError!自我检测1(2011汕头月考)设 an n210 n11，则数列 an从首项到第几项的和最大 ()A10 B11C10 或 11 D122已知数列 an对任意的 p， q N*满足 ap q ap aq，且 a26，那么 a10等于 ()A165 B33 C30 D213(2011龙岩月考)已知数列1， ， ，按此规律，则这个数列的通项公式85 157249是()A an(1) nn2 n2n 1B an(1) nn n 32n 1C an(1) n n 1 2 12n 1D an(1) nn n 22n 34下列对数列的理
3、解：数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3， n)上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是唯一的其中说法正确的序号是 ()A BC D5(2011湖南长郡中学月考)在数列 an中，若 a11， a2 ， 12 2an 1 1an 1an 22(nN *)，则该数列的通项 an_.探究点一由数列前几项求数列通项例 1写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1) ， ， ， ， ，；234156358631099(2) ，2，8， ，.12 92 252变式迁移 1写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,1
4、7,33，；(2) ，2，8， ，；12 92 252(3) ， ，2 ， ，；(4)1,0,1,0，.2 5 2 11探究点二由递推公式求数列的通项例 2根据下列条件，写出该数列的通项公式(1)a12， an1 an n；(2) a11,2 n1 an an1 (n2)变式迁移 2根据下列条件，确定数列 an的通项公式(1)a11， an1 3 an2；(2)a11， an1 ( n1) an；(3)a12， an1 anln .(11n)探究点三由 an与 Sn的关系求 an例 3已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n23 n1，求 an的通项公式变式迁移 3(2011杭州月考)(1)已
5、知 an的前 n 项和 Sn3 n b，求 an的通项公式(2)已知在正项数列 an中， Sn表示前 n 项和且 2 an1，求 an.Sn3函数思想的应用例 (12 分)已知数列 an的通项 an( n1) n (nN *)，试问该数列 an有没有最(1011)大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由【答题模板】解方法一令Error!4 分Error!Error!， n9 或 n10 时， an最大，10 分 即数列 an有最大项，此时 n9 或 n10.12 分方法二 an1 an( n2) n1 ( n1) n(1011) (1011) n ，2 分(1011) 9 n11当 n0
6、，即 an1 an；当 n9 时， an1 an0，即 an1 an；当 n9 时， an1 ana11a12，10 分数列 an中有最大项，为第 9、10 项12 分【突破思维障碍】有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法求最大项时也可用 an满足Error!；若求最小项，则用 an满足Error!.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值【易错点剖析】本题解题过程中易出现只解出 a9这一项，而忽视了 a9 a10，从而导致漏解1数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项 an与项数n 的关
7、系2求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列 an的前 n 项和 Sn与数列 an的通项公式 an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘3本节易错点是利用 Sn求 an时，忘记讨论 n1 的情况(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2010安徽)设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为 ()A15 B16 C49 D642已知数列 an的通项公式是 an ，那么这个数列是 ()2n3n 1A递增数列 B递减数列C摆动数列 D常数列3
8、已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2( an1)，则 a2等于 ()A4 B2 C1 D244(2011烟台模拟)数列 an中，若 an1 ， a11，则 a6等于 an2an 1()A13 B. C11 D.113 1115数列 an满足 an an1 (nN *)， a22， Sn是数列 an的前 n 项和，则 S21为 12()A5 B. C. D.72 92 132题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6数列 an满足 an1 Error!若 a1 ，则 a2 010的值为_677已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且有 Sn n21，则数
9、列 an的通项an_.8(2011安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415根据以上排列规律，数阵中第 n (n3)行从左至右的第 3 个数是_三、解答题(共 38 分)9(12 分)写出下列各数列的一个通项公式(1)1 ，2 ，3 ，4 ，；12 23 34 45(2)1， ， ， .32 1334 15 3610(12 分)由下列数列 an递推公式求数列 an的通项公式：(1)a11， an an1 n (n2)；(2)a11， (n2)；anan 1 n 1n(3)a11， an2 an1 1 ( n2)11(14 分)(2009安徽)已知数列
10、an的前 n 项和 Sn2 n22 n，数列 bn的前 n 项和Tn2 bn.(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)设 cn a bn，证明：当且仅当 n3 时， cn1 0. an an1 20.数列 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 an a1( n1)22 n1.课后练习区1A2.A3.A4.D5.B6. 7.Error!8.37 n2 n 629解(1) a11 ， a22 ， a33 ，12 23 34 an n (nN *)(6nn 1分)(2) a1 ， a2 ， a3 ，2 11 2 12 2 138a4 ，2 14 an(1)n (nN *)(12 分)2 (
11、1)nn10解(1)由题意得， an an1 n， an1 an2 n1， a3 a23， a2 a12.将上述各式等号两边累加得，an a1 n( n1)32，即 an n( n1)321 ，n(n 1)2故 an .(4n(n 1)2分)(2)由题意得， ， ， ， .anan 1 n 1n an 1an 2 n 2n 1 a3a2 23 a2a1 12将上述各式累乘得， ，故ana1 1nan .(8 分)1n(3)由 an2 an1 1，得 an12( an1 1)，又 a1120，所以 2，an 1an 1 1即数列 an1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列所以 an12 n
12、，即 an2 n1.(12分)11(1)解 a1 S14.(1分)对于 n2 有 an Sn Sn1 2 n(n1)2( n1) n4 n.a1也适合， an的通项公式 an4 n.(3分)将 n1 代入 Tn2 bn，得 b12 b1，故 T1 b11.(4 分)(求 bn方法一)对于 n2，由 Tn1 2 bn1 ，Tn2 bn，得 bn Tn Tn1 ( bn bn1 )， bn bn1 ， bn2 1 n.(612分)(求 bn方法二)对于 n2，由 Tn2 bn得Tn2( Tn Tn1 )，2Tn2 Tn1 ， Tn2 (Tn1 2)，12Tn22 1 n(T12)2 1 n，Tn22 1 n，bn Tn Tn1 (22 1 n)(22 2 n)2 1 n.b11 也适合(6分)综上， bn的通项公式 bn2 1 n.(8分)(2)证明方法一由cn a bn n225 n
