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1、1平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：_，其中|a|cos a， b叫做向量 a 在 b 方向上的投影(2)向量数量积的性质：如果 e 是单位向量，则 ae ea_；非零向量 a， b， a b_； aa_或| a|_；cos a， b_；
2、| ab|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律： ab_；(2)分配律：( a b)c_；(3)数乘向量结合律：( a )b_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a( a1， a2)， b( b1， b2)，则 ab_；(2)设 a( a1， a2)， b( b1， b2)，则 a b_；(3)设向量 a( a1， a2)， b( b1， b2)，则| a|_，cos a， b_.(4)若 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则| _，所以AB | |_.AB 自我检测1.（2010湖南）在 Rt ABC 中， C=90
3、,AC=4,则 等于 ()AB AC A16 B8 C8 D162(2010重庆)已知向量 a， b 满足 ab0，| a|1，| b|2，则|2 a b| ()A0 B2 C4 D823(2011福州月考)已知 a(1,0)， b(1,1)，( a b ) b，则 等于 ()A2 B2 C. D12 124.平面上有三个点 A（-2，y） ，B（0， ） ，C（ x， y） ，若 ，则动点 C 的轨迹方A B BC 程为_5.（2009天津）若等边ABC 的边长为 2 ，平面内一点 M 满足 ，则3CM 16CB 23CA _.MA MB 2探究点一向量的模及夹角问题例 1(2011马鞍山月
4、考)已知| a|4，| b|3，(2 a3 b)(2a b)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求| a b|；（3）若 a， b，求 ABC 的面积AB BC 变式迁移 1(1)已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a c)(b c)0，则| c|的最大值是 ()A1 B2C. D.222(2)已知 i， j 为互相垂直的单位向量， a i2 j， b i j ，且 a 与 b 的夹角为锐角，实数 的取值范围为_探究点二两向量的平行与垂直问题例 2已知 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，且 ka b 的长度是 a kb的长度的 倍( k
5、0)3(1)求证： a b 与 a b 垂直；(2)用 k 表示 ab；(3)求 ab 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 .变式迁移 2(2009江苏)设向量 a(4cos ，sin )， b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若 a 与 b2 c 垂直，求 tan( )的值；(2)求| b c|的最大值；(3)若 tan tan 16，求证： a b.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例 3已知向量 a ，(cos 32x， sin 32x)b ，且 x .(cos x2， sin x2) 3， 4(1)求 ab 及| a b|；(2)若 f(x) ab| a
6、b|，求 f(x)的最大值和最小值3变式迁移 3 （2010四川）已知 ABC 的面积 S= 3，且 cos B ，求 cos 12AB AC 35C.1一些常见的错误结论：(1)若| a| b|，则 a b；(2)若 a2 b2，则 a b；(3)若 a b， b c，则 a c；(4)若 ab0，则 a0 或 b0；(5)| ab| a|b|；(6)( ab)c a(bc)；(7)若ab ac，则 b c.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知 a( x1， y1)， b( x2， y2)， 是向量 a 与 b 的夹角.向量表示 坐标表示向量 a 的模
7、|a| aa a2 |a| x21 y21a 与 b 的数量积 ab| a|b|cos ab x1x2 y1y2a 与 b 共线的充要条件 Ab (b0) a b ab x1y2 x2y10非零向量 a， b 垂直的充要条件 a bab0 ab x1x2 y1y20向量 a 与 b 的夹角 cos ab|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21 x2 y23.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证 AB=CD，可转化证明 2 2或| | |.AB CD AB CD （2）要证两线段 ABCD ，只要证存在唯一实数 0，使等式 成立即可AB CD （3）要证两线段
8、AB CD，只需证 0.AB CD (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2010重庆)若向量 a(3， m)， b(2，1)， ab0，则实数 m 的值为 ()A B.32 32C2 D62已知非零向量 a， b，若| a| b|1，且 ab ，又知(2 a3 b)( ka4 b)，则实数k 的值为 ()A6 B3C3 D63.已知 ABC 中， a， b， ab0 且 ab 不同向 2即| i|22 |j|20， 0)得 2. 0)1 k24k(3)由(2)知 ab (k ) ，1 k24k 14 1k 12当 k 时，等号成立，即 k1.1k k0， k1.此时
9、 cos ，而 0， .ab|a|b| 12 3故 ab 的最小值为 ，此时 .12 3变式迁移 2(1)解因为 a 与 b2 c 垂直，所以 a(b2 c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin( )8cos( )0.因此 tan( )2.(2)解由 b c(sin cos ，4cos 4sin )，得| b c| sin cos 2 4cos 4sin 2 4 .17 15sin 2 2又当 时，等号成立，所以| b c|的最大值为 4 . 4 2(3)证明由 tan tan 16 得 ，4cos sin sin 4cos 所以 a b.例 3解题
10、导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识解(1) abcos xcos sin xsin cos 2 x，32 x2 32 x27|a b| (cos 32x cos x2)2 (sin 32x sin x2)2 2|cos x|，2 2cos 2x x ，cos x0， 3， 4| a b|2cos x.(2)f(x)cos 2 x2cos x2cos 2x2cos x12 2 .(cos x12) 32 x ， cos x1， 3， 4 12当 co
11、s x 时， f(x)取得最小值 ；12 32当 cos x1 时， f(x)取得最大值1.变式迁移 3解由题意，设 ABC 的角 B、 C 的对边分别为 b、 c，则 S bcsin A .12 12 bccos A30，AB AC A ，cos A3sin A.(0， 2)又 sin2Acos 2A1，sin A ，cos A .1010 31010由题意 cos B ，得 sin B .35 45cos( A B)cos Acos Bsin Asin B .1010cos Ccos( A B) .1010课后练习区1D因为 ab6 m0，所以 m6.2D由(2 a3 b)(ka4 b)0
12、 得 2k120， k6.3C S ABC |a|b|sin BAC ，12 154sin BAC .又 ab0，12 BAC 为钝角 BAC150.4C由(2 a b)b0，得 2ab| b|2.cos a， b .ab|a|b| 12|b|2|b|2 12 a， b0，180， a， b120.5B因为 ab| a|b|cos a， b ，所以， a 在 b 上的投影为| a|cos a， b .ab|b| 21 842 72 1365 6556.35解析 abcos 2 2sin 2 sin ，25812sin 2 2sin 2 sin ，sin .25 357120解析设 a 与 b 的夹角为 ， c a b， c a， ca0，即( a b)a0. a2 ab0.又| a|1，| b|2，12cos 0.cos ， 0，180即
