《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 3.3 导数的综合应用导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 3.3 导数的综合应用导学案 理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1导数的综合应用导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题自主梳理1函数的最值(1)函数 f(x)在 a， b上必有最值的条件如果函数 y f(x)的图象在区间 a， b上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数 y f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤：求函数 y f(x)在( a， b)内的_；将函数 y f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解自我检测1函数 f(x)
2、x33 ax a在(0,1)内有最小值，则 a的取值范围为 ()A0 a2f(1)4(2011新乡模拟)函数 f(x) ex (sin xcos x)在区间 上的值域为12 0， 2_5 f(x) x(x c)2在 x2 处有极大值，则常数 c的值为_2探究点一求含参数的函数的最值例 1已知函数 f(x) x2e ax (a0)，求函数在1,2上的最大值变式迁移 1设 a0，函数 f(x) .aln xx(1)讨论 f(x)的单调性；(2)求 f(x)在区间 a,2a上的最小值探究点二用导数证明不等式例 2(2011张家口模拟)已知 f(x) x2 aln x(aR)，12(1)求函数 f(x
3、)的单调区间；(2)求证：当 x1时， x2ln xln 21 且 x0时，e xx22 ax1.探究点三实际生活中的优化问题例 3(2011孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交 a元(3 a5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9 x11)时，一年的销售量为(12 x)2万件(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出 L的最大值Q(a)变式迁移 3甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一
4、定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系 x2 000 .若乙方每生产一吨产品必须赔t付甲方 S元(以下称 S为赔付价格)(1)将乙方的年利润 (元)表示为年产量 t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y0.002 t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价3格 S是多少？转化与化归思想的应用例 (12 分)(2010全国)已知函数 f(x)( x1)ln x x1.(1)若 xf( x) x2 ax1，求 a的取值范围；(2)
5、证明：( x1) f(x)0.【答题模板】(1)解 f( x) ln x1ln x ， x0，x 1x 1x xf( x) xln x1.由 xf( x) x2 ax1，得 aln x x，令 g(x)ln x x，则 g( x) 1，2 分1x当 00；当 x1时， g( x)0， f(x)( x1)ln x x1ln x xln x x1ln x x 0，(ln 1x 1x 1)( x1) f(x)0.11 分综上，( x1) f(x)0.12 分【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计
6、算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y f(x)；(2)求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5分，共 25分)1(2011皖南模拟)已知曲线 C： y2 x2 x3，点 P(0，
7、4)，直线 l过点 P且与曲4线 C相切于点 Q，则点 Q的横坐标为 ()A1 B1 C2 D22已知函数 y f(x)， y g(x)的导函数的图象如图所示，那么 y f(x)， y g(x)的图象可能是 ()3设 f( x)是函数 f(x)的导函数， y f( x)的图象如图所示，则 y f(x)的图象最有可能是 ()4函数 f(x) x3 x2 tx t在(1,1)上是增函数，则 t的取值范围是 ()A t5 B tb B a0，试比较 f(x)与 g(x)的大小答案 自主梳理1(1)连续(2)极值端点值自我检测1B2.D3.C64. 5.612， 12e2课堂活动区例 1解题导引求函数
8、在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令 f( x)0，求出 x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况解 f(x) x2e ax (a0)， f( x)2 xe ax x2( a)e axe ax( ax22 x)令 f( x)0，即 e ax( ax22 x)0，得 02时， f(x)在1,2上是减函数，2a f(x)max f(1)e a.当 1 2，即 1 a2 时， f(x)在 上是增函数，在 上是减函数，2a 1， 2a) (2a， 2 f(x)maxf 4 a2 e
9、2 .(2a)当 2，即 02时， f(x)的最大值为 e a.变式迁移 1解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f( x) a (a0)，1 ln xx2由 f( x) a 0，得 0e.故 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(2) f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减， f(x)在 a,2a上的最小值 f(x)minmin f(a)， f(2a) f(a) f(2a) ln ，12 a2当 02时， f(x)min .ln 2a2例 2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题(1)解 f( x) x (
10、x0)，ax x2 ax若 a0 时， f( x)0恒成立，函数 f(x)的单调增区间为(0，)若 a0时，令 f( x)0，得 x ，a函数 f(x)的单调增区间为( ，)，减区间为(0， )a a7(2)证明设 F(x) x3( x2ln x)，23 12故 F( x)2 x2 x .1x F( x) . x 1 2x2 x 1x x1， F( x)0. F(x)在(1，)上为增函数又 F(x)在(1，)上连续， F(1) 0，16 F(x) 在(1，)上恒成立 F(x)0.16当 x1时， x2ln xln 21 时，g( x)最小值为 g(ln 2)2(1ln 2 a)0.于是对任意
11、xR，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R内单调递增，于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0，即 ex x22 ax10，故 exx22 ax1.例 3解(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x的函数关系式为 L( x3 a)(12 x)2， x9,11(2)L( x)(12 x)22( x3 a)(12 x)(12 x)(182 a3 x)令 L0，得 x6 a或 x12(不合题意，舍去)233 a5，86 a .23 283在 x6 a两侧 L的值由正变负23当 86 a0；当 tt0时， 0；当
12、 S20时， v0， b d，且在(0， d)上 f( b)0，在 d， d上 f( b)0；当 x10时， V1)11 x x 2 x1 x(4分) f(x)在(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(6分)(2)令 f( x)0，即 x0，则x ( 1,0)1e0 (0，e1)f( x) 0 f(x) A极小值 A(9分)又 f( 1) 1， f(e1) e21 1，1e 12e2 12 12e2又 f(x) e21.(1212分)10解(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，(2 分)k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) ，(4403x
13、 5分)而建造费用为 C1(x)6 x.(5分)最后得隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和为f(x)20 C(x) C1(x)20 6 x403x 5 6 x (0 x10)(68003x 5分)(2)f( x)6 ，令 f( x)0，2 400 3x 5 210即 6，解得 x5， x (舍去)2 400 3x 5 2 253(8 分)当 00，(10分)故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 70.80015 5当隔热层修建 5 cm厚时，总费用达到最小值 70万元(12分)11解(1) f(x)ln x的图象与 x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得 g(1) a b0.
