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1、1两个计数原理导学目标： 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步” ，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题自主梳理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方
2、法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类加法计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考自我检测1(2009北京)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B328 C360 D6482.如图小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点 B 向结点 A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A26 B24
3、 C20 D193(2011青岛月考)某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有()A16 种 B36 种 C42 种 D60 种4(2010湖北)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A5 6 B6 5C. D6543256543225.如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同着色方法共有_种(以数字作答)6(2011泉州调研)集合 A 含有 5 个元素，集合 B 含有 3 个元
4、素从 A 到 B 可有_个不同映射2探究点一分类加法计数原理的应用例 1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？变式迁移 1方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m1,2,3,4,5，x2m y2nn1,2,3,4,5,6,7，那么这样的椭圆有多少个？探究点二分步乘法计数原理的应用例 2(2011黄山模拟)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？变式迁移 2有 0、1、2、8 这 9 个数字(1)用这 9 个数字组成四位数，共有多少
5、个不同的四位数？(2)用这 9 个数字组成四位密码，共有多少个不同的四位密码？3探究点三两个计数原理的综合应用例 3如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A180 种 B240 种C360 种 C420 种变式迁移 3如图所示为一电路图，从 A 到 B 共有_条不同的线路可通电分类讨论思想例 (12 分)从 1 到 20 这 20 个正整数中，每次取出 3 个，问：它们可以组成多少组不同的等差数列多角度审题 本题是一道计数原理与等差数列的综合题，能构成等差数列的三个数有很多，到底如何取这三个数才能准确
6、的、不重、不漏的找出所有能构成等差数列的三个数是本题的难点【答题模板】解依题意，要使这三个数成等差数列，公差 d 的取值可以为1，2，9，因此分 18 类3 分当 d1 时，可以组成 36 组不同的等差数列；当 d2 时，可以组成 32 组不同的等差数列；当 d9 时，可以组成 4 组不同的等差数列9 分根据分类加法计数原理，共有 36322884180(组)不同的等差数列12 分【突破思维障碍】由于取出的三个数必须构成等差数列，因此，按照公差的大小来分类能使取出的三个数不重不漏，那么每一类型有多少个三位数，由于从前往后取，关键看取到最后，由各数列的特点，就能看出有几个数列，例如：当等差数列的
7、公差为 1 时，能构成等差数列的三个数为 1 2 3,2 3 4,3 4 5，18 19 20，查个数时，看每组数的第一个数，分别为1,2,3，18，因此共 18 个等差数列；再例如当公差为 2 时，取到最后剩 17,19, 20.但前面能构成等差数列的三个数分别为 1 3 5,2 4 6,3 5 7,4 6 8，16 18 20，看每组数的第一个数分别为 1,2,3，16，共 16 个等差数列【易错点剖析】容易遗忘公差为1，2，9 时的情况，有可能找不到公差每增加 1 个单位，等差数列个数减少 4 个的规律1关于两个计数原理的应用范围：(1)如果完成一件事情有几类办法，这几类办法彼此之间相互
8、独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数时就用分类加法计数原理，分类加法计数原理可利用“并联电路”来理4解(2)如果完成一件事情要分几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的办法，求完成这件事的方法种数时就用分步乘法计数原理，分步乘法计数原理可利用“串联电路”理解2应用两个计数原理的注意事项：(1)要真正理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步(2)分类时要做到不重不漏(3)对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(20
9、11合肥调研)从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是()A10 B15 C20 D252某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有()A5 种 B6 种 C7 种 D8 种3(2010佛山模拟)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元，某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个选续的号，从 21至 30 中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1
10、 个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要()A3 360 元 B6 720 元 C4 320 元 D8 640 元4(2011杭州月考)如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数共有()A240 个 B285 个 C231 个 D243 个54 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 21 分，答错得21 分；选乙题答对得 7 分，答错得7 分若4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是()A48 B44 C36 D24二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6.一植物园参观路径
11、如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有_种7(2011安庆模拟)计划展出 6 幅不同的画，其中 1 幅水彩画，2 幅油画，3 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列法有_种8电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2011开封模拟)从3，2，1,0,1,2,3,4中任选三个不同元素作为二次函数 y
12、ax 2bxc 的系数，问能组成多少条抛物线经过原点且顶点在第一象限或第三象限？510(12 分)用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数11(14 分)有一个圆形区域被 3 条直径分成 6 块(如图所示)，在每一块区域内种植植物，相邻的两块区域种植不同的植物，现有 4 种不同的植物选择，一共有多少种不同的种植方法学案 63两个计数原理自主梳理1mn2.mn自我检测1 B若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是 0 时，共有9872(种)情况；当个位上是不为 0 的偶数时，共有 488256(种)情况综上，共有 72256328(种)情
13、况62 D本题只要类比成供水系统中水管的最大流量问题即可由 B 到 A，单位时间内第一条网线传递的最大信息量为 3，第二条网线传递的最大信息量为 4，第三条网线传递的最大信息量为 6，第四条网线传递的最大信息量为 6，由分类加法计数原理，得346619.3 D某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则可分两类：第一类，在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目，此时有34336(种)方案；第二类，在三个城市各投资 1 个项目，有 43224(种)方案，共计有 362460(种)方案4 A由分步乘法计数原理得 5555555 6.572解析本题
14、根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，有 43224(种)方法；第二类，用四种颜色着色，有 243248(种)方法从而共有 244872(种)方法6243解析A 中的任一元素去选择 B 的某一元素都有 3 种方法，且要完成一个映射应该使A 中的每一个元素在 B 中都能找到唯一的元素与之对应，由分步乘法计数原理知共有333333 5243(个)课堂活动区例 1解题导引 根 据 十 位 上的 数 分 类 确 定 个 位 数 字 大 于十 位 数 字 的 两 位 数 分 类 加 法 计 数 原 理 结 果应用分类加法计数原理，首先根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一
15、种方法，必属于某一类且仅属于某一类解根据题意，十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 8765432136(个)变式迁移 1解以 m 的值为标准分类，分为五类第一类：m1 时，使 nm，n 有 6 种选择；第二类：m2 时，使 nm，n 有 5 种选择；第三类：m3 时，使 nm，n 有 4 种选择；第四类：m4 时，使 nm，n 有 3 种选择；第五类：m5 时，使 nm，n 有 2 种选择共有 6543220(种)方法，即有 20 个符合题意的椭圆例 2解题导引 考 虑 队 员 的出 场 次 序 分 步 进 行 分 步 乘 法 计 数 原 理 结 果
