《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学案 理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义自主梳理1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若 p 则 q(pq)；逆命题：若 q 则 p(qp)；否命题：若綈 p 则綈 q(綈 p綈 q)；逆否命题：若綈 q 则綈 p(綈 q綈 p)(2)四
2、种命题间的关系(3)四种命题的真假性两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件若 pq，则 p 叫做 q 的充分条件；若 qp，则 p 叫做 q 的必要条件；如果 pq，则 p叫做 q 的充要条件自我检测1(2010湖南)下列命题中的假命题是()A xR ，lg x0 B xR，tan x1C xR， x30 D xR,2 x0答案C解析对于 C 选项，当 x0 时，0 30，因此 xR， x30 是假命题2(2010陕西)“ a0”是“| a|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解
3、析 a0|a|0，| a|0 a0，“ a0”是“| a|0”的充分不必要条件3(2009浙江)“ x0”是“ x0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2答案A解析对于“ x0”“x0” ，反之不一定成立，因此“ x0”是“ x0”的充分而不必要条件4若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的()A逆否命题 B逆命题C否命题 D原命题答案C解析由四种命题逆否关系知， s 是 p 的逆命题 t 的否命题5(2011宜昌模拟)与命题“若 a M，则 b M”等价的命题是()A若 a M，则 b MB若 b M，
4、则 a MC若 a M，则 b MD若 b M，则 a M答案D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可探究点一四种命题及其相互关系例 1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数
5、的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题变式迁移 1有下列四个命题：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，
6、则 x22 x q0 有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的序号为_答案解析的逆命题是“若 x， y 互为相反数，则 x y0” ，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等” ，假；若 q1，则 44 q0，所以 x22 x q0 有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形” ，假3探究点二充要条件的判断例 2给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么条件(1)p： x20； q：( x2)( x3)0.(2)p：两个三角形相似； q：两个三角形全等(3)p： m6； q： y x2 mx m3 有两个不同的零点
7、； p： 1； q： y f(x)是偶函数；f xf x p：cos cos ； q：tan tan ； p： A B A； q： UBUA.A B C D答案D解析 q： y x2 mx m3 有两个不同的零点 q： m24( m3)0 q： m6p； 当 f(x)0 时，由 q p；若 ， k ， kZ 时，显然 cos 2 cos ，但 tan tan ； p： A B Ap： ABq： UAUB.故符合题意探究点三充要条件的证明例 3设 a， b， c 为 ABC 的三边，求证：方程 x22 ax b20 与 x22 cx b20 有公共根的充要条件是 A90.解题导引有关充要条件的证
8、明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性证明(1)必要性：设方程 x22 ax b20 与 x22 cx b20 有公共根 x0，则 x 2 ax0 b20， x 2 cx0 b20，20 20两式相减可得 x0 ，将此式代入 x 2 ax0 b20，b2c a 20可得 b2 c2 a2，故 A90，(2)充分性： A90， b2 c2 a2， b2 a2 c2.将代入方程 x22 ax b20，可得 x22 ax a2 c20，即( x a c)(x a c)0.将代入方程 x2
9、2 cx b20，可得 x22 cx c2 a20，即( x c a)(x c a)0.4故两方程有公共根 x( a c)所以方程 x22 ax b20 与 x22 cx b20 有公共根的充要条件是 A90.变式迁移 3已知 ab0，求证： a b1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b20.证明(1)必要性： a b1， a b10. a3 b3 ab a2 b2( a b)(a2 ab b2)( a2 ab b2)( a b1)( a2 ab b2)0.(2)充分性： a3 b3 ab a2 b20，即( a b1)( a2 ab b2)0.又 ab0， a0 且 b0. a2 ab
10、 b2( a )2 b20.b2 34 a b10，即 a b1.综上可知，当 ab0 时， a b1 的充要条件是 a3 b3 ab a2 b20.转化与化归思想的应用例 (12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24 x40 和x24 mx4 m24 m50，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件【答题模板】解 mx24 x40 是一元二次方程， m0. 2 分另一方程为 x24 mx4 m24 m50，两方程都要有实根，Error!解得 m ，1 654分两根为整数，故和与积也为整数，Error! ， m 为 4 的约数， 8 分 m1 或 1，当 m1 时，第一个方程 x24
11、 x40 的根为非整数，而当 m1 时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 12 分【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想 0.求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果，那么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出
12、p 与 q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是 p 对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的否定的区别3本节体现了转化与化归的数学思想5(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2010天津模拟)给出以下四个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在 ABC 中，若 sin Asin B，则 A B；在一元二次方程 ax2 bx c0 中，若 b24 ac0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题5(2011枣庄模拟)集合 A x|x|4， xR， B x|x5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D
13、既不充分也不必要条件答案B解析 A x|4 x4，若 AB，则 a4， a4 a5，但 a5a4.故选 B.二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6 “x10 且 x20”是“ x1 x20 且 x1x20”的_条件答案充要7(2011惠州模拟)已知 p：( x1)( y2)0， q：( x1) 2( y2) 20，则 p 是 q的_条件答案必要不充分解析由( x1)( y2)0 得 x1 或 y2，由( x1) 2( y2) 2 0 得 x1 且y2，所以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件8已知 p(x)： x22 x m0，如果 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为_答案3,8)解析因为 p(1)是假命题，所以 12 m0，解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 44 m0，解得 m0，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围解设 A x|p x|x24 ax3
