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1、2019年高考数学一轮复习第十六单元概率高考达标检测四十七几何概型命题3角度-长度角度面积体积理一、选择题1.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C. D.解析：选C当AA的长度等于半径长度时，AOA，A点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P.2随机地向半圆0y(a为正常数)内掷一点，若点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比， 则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为()A. B.C. D.解析：选A由题意可知半圆0y是以(a,0)为圆心、以a为半径的x轴上方的半圆，要使原点与半圆内一点
2、的连线与x轴的夹角小于，则该点应该落在直线yx与 x轴之间的区域，所以所求事件的概率为P.3.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为()A1 B.C. D.解析：选A由题知，直角三角形中较短的直角边长为1，较长的直角边长为，所以中间小正方形的边长为1，其面积为(1)242，则飞镖落在小正方形内的概率为1.4已知圆C：x
3、2y22x10，直线3x4y120，圆C上任意一点P到直线的距离小于2的概率为()A. B.C. D.解析：选D因为圆C：(x1)2y22，圆心C(1,0)，半径r，所以圆心C到直线3x4y120的距离d3.若圆心C到直线3x4ym0的距离d1，则m2或m8(舍去)，此时直线AB的方程为3x4y20，如图所示，在ABC中，CD1，CB，则ABC为等腰直角三角形，即ACB，故所求概率P.5设曲线yx21及直线y2所围成的封闭图形为区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D的概率为()A. B.C. D.解析：选C作出示意图如图所示，联立曲线yx21及直线y2，解得x
4、1，则曲线yx21及直线y2围成的封闭图形的面积为S (1x2)dx，不等式组所确定的区域的面积为4，故在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率P.6已知函数f(x)sin xcos x，当x0，时，f(x)1的概率为()A. B.C. D.解析：选Df(x)sin xcos x2sin，x0，x，由f(x) 1，得sin，x，0x，所求的概率为P.7已知ABC内一点O满足230，若在ABC内任意投一个点，则该点在OAC内的概率为()A. B.C. D.解析：选C如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则，又230，则3.作AB靠近B点的三等分点E，则，则O到AC的距离是E到AC距离的一半
5、，所以B到AC的距离是O到AC的距离的3倍，所以SAOCSABC，故在ABC内任意投一个点，则该点在OAC内的概率为. 8在2,2上随机地取两个实数a，b，则事件“直线xy1与圆(xa)2(yb)22有交点”发生的概率为()A. B.C. D.解析：选D根据题意，得又直线xy1与圆(xa)2(yb)22有交点，即，得2ab12，所以1ab3，作出平面区域如图所示，则事件“直线xy1与圆(xa)2(yb)22有交点”发生的概率为P.二、填空题9已知线段AC16 cm，先截取AB4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为_解析：依题
6、意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12x)cm，由4x(12x)128，得x212x320，解得4x8，因此所求的概率为.答案：10在区间3,5上随机取一个数a，则使函数f(x)x22ax4无零点的概率为_解析：若使函数f(x)x22ax4无零点，则4a2160，解得2a2，则使函数f(x)x22ax4无零点的概率P.答案：11不等式组表示平面区域为，在区域内任取一点P(x，y)，则点的坐标满足不等式x2y22的概率为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中OAB所示，面积为4，在OAB内满足x2y22所表示的平面区域为四分之一圆，面积为，所以所求事件的概率P.答案：12.在底和高等
7、长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为_解析：设ADx，ABy，则由三角形相似可得，解得yax，所以矩形的面积Sxyx(ax)2，当且仅当xax，即x时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为.答案：三、解答题13某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；(2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率解：(1)用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x10,30，y
8、10,30，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示(2)小陈比小李至少晚到5分钟，即xy5，对应区域为BEF，故所求概率P.14已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)由ab1，得2xy1，即y2x1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.
9、(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6，满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6，1y6且2xy0画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.1有一长、宽分别为50 m,30 m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A. B.C. D.解析：选B如图所示，当工作人员走到AB或CD两个线段中时能及时听到呼唤，其中OA15，作OEAB，
10、垂足为E，则OE15，AB230，所有可能的结果为游泳池的周长160，故所求概率P.2若不等式组表示的区域为，不等式2y2表示的区域为M，向区域均匀随机撒360粒芝麻，则落在区域M中的芝麻约为()A114粒 B10粒C150粒 D50粒解析：选A作出不等式组所表示的平面区域为图中ABC所示易得A，B，C(0,1)，ABC的面积为，区域M的面积为圆2y2的面积，即2，其中区域和M不相交的部分面积即空白面积为，区域和M相交的部分面积为，落入区域M的概率为，落入区域M的芝麻数约为360114.3任取k1,1，直线yk(x2)与圆x2y24相交于M，N两点， 则|MN|2的概率是_解析：因为圆心到直线的距离d，所以|MN|22 .由|MN|2，得2，即k2，所以k，所以|MN|2的概率P.答案：
