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1、单击此处编辑母版标题样式 1 单击此处编辑母版副标题样式 5 4 三大抽样分布 本次课教学目的 掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论 重点难点 三大抽样分布的构造及其抽样分布 一些重要结论 教学基本内容及其时间分配 三大抽样分布的构造性定义 30分钟 定理及其三个推论以及证明 70分钟 根据本节课的特点所采取的教学方法和手段 启发式讲授 图文结合加深对三大分布的印象 引 言 有许多统计推断是基于正态分布的假设的 以标准正态变 量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用 这是因为这三个统计量不仅有明确背景 而且其抽样分 布的密度函数有明显表达式 他们被称为统计中的 三大 抽样分
2、布 若设 是来自标准正态分布的两个 相互独立的样本 则此三个统计量的构造及其抽样分布如 表5 4 1所示 5 4 1 分布 卡方分布 问题 如何确定 的分布 图像 密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布 数字特征 当随机变量 时 对给定的 称满足 的是自由度为n的卡方分布的分位数 5 4 2 F分布 其中m称为分子自由度 n称为分母自由度 定义义5 4 2 设独立 则称 的分布是自由度为m与n的F分布 记为 问题 如何确定 的分布 首先 我们导出的密度函数 第二步 我们导出 的密度函数 首先 我们导出的密度函数 Z的密度函数为 第二步 我们导出 的密度函数 这就是自由度为m与n的F分布的密度
3、函数 有F分布的构造知 若F F m n 则有1 F F n m 故对给定 例5 4 1 若取m 10 n 5 0 05 那么从附表5上查得 5 4 3 t 分布 定义5 4 3 设随机变量 独立且 则称的分布为自由度为n的t分布 记为 问题 如何确定 的分布 由标准正态密度函数的对称性知 从而t与 t有相同分布 所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为 这就是自由度为 的 分布的密度函数 分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似 只是峰比标准正态 分布低一些 尾部的概率比标准正态分布的大一些 自由度为1的 分布就是标准柯西分布 它的均值不存在 1
4、时 分布的数学期望存在且为0 1时 分布的方差存在 且为 2 当自由度较大 时 分布可以用 0 1 分布近似 见下页图 N 0 1 和t 4 的尾部概率比较 c 2c 2 5c 3c 3 5 X N 0 1 0 04550 01240 00270 000465 X t 4 0 11610 06680 03990 0249 当随机变量 时称满足的 是自由度为 的 分布的1 分位数 由于 分布的密度函数关于0对称 故其分位数间有如下关系 譬如 那么从附表4 上查到 可以从附表4中查到 譬如 10 0 05 分位数 5 4 4 一些重要结论 的样本 其样本定理5 4 1 设是来自正态总体 均值和样本
5、方差分别为 和 则有 1 与 2 3 相互独立 证明 记 则有 取一个n维正交矩阵A 其第一行的每一个元素均为 如 令Y AX 则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布 其均值和方差分别为 由此 且都服从正态的各个分量相互独立 分布 其方差均为 而均值不完全相同 这证明了结论 1 这证明了结论 2 这证明了结论 3 推论5 4 1 在定理5 4 1的记号下 有 将5 4 4 左端改写为 由于分子是标准正态变量 分母的根号里是自由度为n 1 的t变量除以它的自由度 且分子与分母相互独立 由t分布定 义可知 t t n 1 推论证完 证明 由定理5 4 1 2 可以推出 推论5 4 2 设是来自的样本 是来自 的样本且此两样本相互独立 记 其中则有 特别 若 则 证明 由两样本独立可知 与相互独立且 由F分布定义可知F F m 1 n 1 推论5 4 3 在推论5 4 2的记号下 设 并记 则 证证明 由 与独立 由定理5 4 1知 独立 相互独立 根据t分布的定义即可得到 5 4 8 思考题及作业题 三大抽样分布之间的内在关系是什么 作业题 P277 必做 1 2 5 11 13 选做 8 12 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好
