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1、2019-2020年中考典型题赏析：角平分线的功能（含解析）角平分线的功能如下:1.平行截等腰;2.延长构全等;3.翻折构全等;4.垂直构全等.下面举例说明角平分线的功能的应用,以起抛砖引玉,画龙点睛.例1.如图1,点F是ABC的CAB和CBA的平分线的交点,过点F作FDCA,FECB,它们分别交AB于点D、E,若AB=6cm,求FDE的周长.分析:容易证明DF=DA,EF=EB.于是可以求出FDE的周长等于AB.解:AF是CAB的平分线,BF是CBA的平分线,CAF=FAB,CBF=ABF. 图1FDCA,FECB,CAF=AFD,CBF=BFE.AFD=FAB,BFE=ABF.AD=FD,
2、BE=FE.FDE的周长=FD+DE+FE=AD+DE+BE=AB=6(cm).点评:如果过一个角平分线上一点作这个角的任意一边的平行线,那么可以截得一个等腰三角形.简称“平行截等腰”.例2.如图2,在ABC中,AE是CAB的平分线,BEAE于点E.求证:ABE=CBE+C.分析:延长BE交AC于点D,则AEB=AED=.容易证明.于是问题解决.证明:延长BE交AC于点D,则AEB=AED=.AE=AE,BAE=DAE,.ABE=ADE. 图2ADE=CBE+C,ABE=CBE+C.点评:如果一条线段垂直一个角的平分线,那么延长这条垂线段可以构造全等三角形.简称“延长构全等”.例3.如图3,在
3、ABC中,AD是CAB的平分线,B=2C.求证:AC=AB+BD.分析:在AC上截取AE=AB,连结DE.容易证明.于是问题可以解决.证明:在AC上截取AE=AB,连结DE. 图3AD=AD,DAB=DAE,.B=AED=2C,BD=ED.AED=CDE+C,2C=CDE+C.CDE=C.ED=EC.BD=EC.AC=AE+EC=AB+BD.点评:如果沿一个角的平分线翻折,那么可以构造全等三角形.简称“翻折构全等”,也称“截长补短”.本题为“截长”，有兴趣的同学也可以试试“补短”.例4.如图4,在ABC中,BE是ABC的平分线,A=,AB=AC.求证: BC=AB+AE.分析:作EDBC于点D
4、, 则A=BDE=.容易证明.于是问题可以解决.证明:作EDBC于点D,则A=BDE=.ABE=DBE,BE=BE,AB=DB,AE=DE.AB=AC,A=,C=. 图4CED=.CED=C.DE=DC.DC=AE.BC=DB+DC=AB+AE.点评:如果过一个角的平分线上一点作这个角的边的垂线,那么可以构造全等三角形.简称“垂直构全等”.小试牛刀:1.如图5,在中,点F是的角平分线的交点,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,若BD+EC=10,求DE的长. 图5 图6 图72.如图6,在ABC中,AD是CAB的平分线, AC=AB+BD.求证:B=2C.3.如图7,在中,AB=AC,
5、BD是的平分线,BDCE于点E.求证:BD=2CE.小试牛刀参考答案1.解:因为FDBC,FEBC,所以,. 因为F是的角平分线的交点,所以,.所以,.所以BD=FD,EF=EC.所以DE的长=FD+EF=BD+EC=10.2.证明:如图8,在AC上截取AE=AB,连结DE.AD=AD,DAB=DAE,.B=AED,BD=ED.AC=AB+BD,AC=AE+CE,AB+BD= AE+CE.BD=CE. DE=CE.CDE=C. 图83.证明:如图9,延长CE交BA的延长线于点F,则.BE=BE,BCEBFE.CE=FE.CF=2CE.,.,., AB=AC,ACFABD.BD=CF.BD=2CE. 图9
