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1、2019-2020年高三第一次模拟（数学理）(I) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集U = R，集合M = x | x0，N = x | x2x；则下列关系中正确的是A MN M B MN = M C MN = R D（CU M）N = 2已知命题p：函数y = 2x - 2-x 在R上为减函数；命题q：函数y = 2x + 2-x在R上为增函数；则下列命题中是真命题的是 A p q B p q C （p） q D （p） q3命题：“xR，x2 + x0”的否定是A
2、 xR，x2 + x0 B x0R，x02 + x00 C x0R，x02 + x00 D x0R，x02 + x004已知：函数f（x）= ；则满足f（x）= 的x的值为A 2 B C 3 D 5设是第四象限角，且tan = - ，则sin等于A B - C D - 6已知：定义域为R的函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）= x3 +1；则x0时，f（x）的解析式为 A f（x）= x3 +1 B f（x）= x3 -1 C f（x）= -x3 +1 D f（x）= -x3 -17ABC中，A = ，边BC = ， = 3，且边AB AC，则边AB的长为A 2 B 3 C 4 D 68函
3、数y = sin（2 x + ）+ cos（2 x + ）的最小正周期和最大值分别为A ，1 B ， C 2 ，1 D 2 ，9曲线y = ln x（x0）的一条切线为y = 2x + m，则m的值为A ln2-1 B 1-ln2 C 1+ln2 D -1-ln210已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列。则a2的值为A -4 B 4 C -6 D 611数列an的前n项和Sn = n2 + n + 1；bn = (-1)n an（nN*）；则数列bn的前50项和为A 49 B 50 C 99 D 10012在RtABC中，ACB=900，=，=，且= 3，= 4，又点I为A
4、BC的内心，则用，表示向量为 A = - B = + C = - D = + 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上。13函数f（x）= x + （x1）的最小值为 14抛物线y = x2 与直线y = 1所围成封闭图形的面积为 15ABC中，A = ，BC = ，向量=（- ，cosB），=（1，tanB），且，则边AC的长为 16给出下列命题：若a，b，c分别是方程x + log3x = 3，x + log4x =
5、 3和x + log3x = 1的解，则abc；定义域为R的奇函数f（x）满足 f（3 + x）+ f（1 - x）= 2，则f（xx）= xx；方程2sin = cos在 0，2）上有2个根；已知Sn是等差数列an（nN*）的前n项和，若S7S5，则S9S3；其中真命题的序号是 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知函数f（x）= sin2x - sin2x ；（1）求 f（ ）的值；（2）当 x 0， 时，求函数f（x）的最大值。18（本小题满分12分）已知：x，y满足约束条件；（1）求z = x + 2 y的最大值；（2
6、）求x2 + y2 的最大值与最小值。19（本小题满分12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式： f（x）= （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？20（本小题满分12分）设aR，函数f
7、（x）= e -x（ax2 + a + 1），其中e是自然对数的底数；（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当 -1a0 时，求函数f（x）在 1，2 上的最小值。21（本小题满分12分）已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和；且Sn = 2 an -2（nN*）；（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，且bn= （nN*）；求证：对于任意的正整数n，总有Tn 2；（3）在正数数列cn中，设 (cn) n+1 = an+1（nN*）；求数列cn中的最大项。请考生在第2224三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。ABPCOQD22（本小题满分10分）选修
8、41：几何证明选讲已知O的弦AB长为4，将线段AB延长到点P，使BP = 2；过点P作直线PC切O于点C；（1）求线段PC的长；（2）作O的弦CD交AB于点Q（CQDQ），且Q为AB中点，又CD = 5，求线段CQ的长。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程： 已知圆C的参数方程为 （为参数）；（1）把圆C的参数方程化成直角坐标系中的普通方程；（2）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，把（1）中的圆C的普通方程化成极坐标方程；设圆C和极轴正半轴的交点为A，写出过点A且垂直于极轴的直线的极坐标方程。24 （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数f（x）
9、= | x - a | + | x + 2 |（a为常数，且aR）；（1）当a = 1时，解不等式f（x） 5；（2）当a1时，求函数f（x）的值域。数学（理）试卷参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。CDDCB BAADC AA二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。133 14 15 16三、 解答题：本大题共6小题，共70分。17（本小题满分12分）解：（1）f（）=sin-sin2=-=0。（4分）（2）因为f（x）=sin2x-sin2x=f（x）=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-。所以当x0，时，2x+，所以：sin（2x+）1，所以
10、f（x）的最大值为。（12分）20（本小题满分12分）解：（1）由已知：f（x）=-e-x（ax2+a+1）+ e-x2ax=e-x（-ax2+2ax-a-1）。因为e-x0，只需讨论g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况；当a=0时，g（x）=-10，即f（x）0，所以f（x）在R上是减函数；当a0时，g（x）=0的=4a2-4（a2+a）=-4a0，所以g（x）0，即f（x）0，所以f（x）在R上是减函数； （4分）当a0时，g（x）=0有两根，且。所以，在区间（-，）上，g（x）0，即f（x）0，f（x）在此区间上是增函数，在区间（，）上，g（x）0，即f（x）0，f（x）在此区间上
11、是减函数，在区间（，+）上，g（x）0，即f（x）0，f（x）在此区间上是增函数。综上所述，当a0时，f（x）的单调减区间为（-，+），当a0时，f（x）的单调增区间为（-，）和（，+），f（x）的单调减区间为（，）。（8分）（2）当-1a0时，1，2，所以，在1，2上，f（x）单调递减，所以f（x）在1，2上的最小值为f（2）=。（12分）ABPCOQD21（本小题满分12分）解：（1）因为Sn=2an-2（nN*），所以Sn-1=2an-1-2（n2，nN*）。二式相减得：an=2 an-2an-1（n2，nN*），因为an0，所以=2（n2，nN*），即数列 an是等比数列，又因为a1=
12、S1，所以a1=2 a1-2，即a1=2，所以an=2n（nN*）（4分）（2）证明：对于任意的正整数n，总有bn=，所以当n2时，Tn=+1+=1+1-+-+-=2-2；当n=1时，T1=12仍成立；所以，对于任意的正整数n，总有Tn 2。（8分）（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（nN*）知：lncn=。令f（x）=，则f（x）=，因为在区间（0，e）上，f（x）0，在区间（e，+）上，f（x）0，所以在区间（e，+）上f（x）为单调递减函数，所以n3且nN*时，lncn是递减数列，又lnc1 lnc2， lnc3 lnc2，所以，数列lncn中的最大项为lnc2=ln3，所以c
13、n中的最大项为c2=。（12分）22（本小题满分10分）解：（1）由切割线定理：PC2=PAPB=（2+4）2=12。所以PC=2。（4分）（2）由相交弦定理：CQQD=AQQB，所以CQ（5-CQ）=4，得：CQ2-5CQ+4=0，解得：CQ=5（舍去）或CQ=1，所以CQ的长为1。（10分）23（本小题满分10分）解：（1）由sin2+cos2=1及2 cos=x-2，2sin=y得圆C的普通方程为（x-2）2+y2=4 。（4分）（2）由得：（cos-2）2+2sin2=4，得圆C的极坐标方程为=4cos；因为圆C与极轴正半轴交点为（4，0），所以所求直线的极坐标方程为cos=4 。（10分）24（本小题满分10分）解：（1）当a=1时，f（x）= |x-1|+|x+2|。设数轴上与-2，1对应的点为A，B，将A，B分别向左，右平移1个单位得点A1，B1，则|A1A|+|A1B|=5，|B1A|+|B1B|=5，所以不等式f（x）5的解集为-3，2。（4分）（2）f（x）= |x-a|+|x+2|= 由于f（x）在x-2时为减函数，在xa时为增函数，所以f（x）的值域为a+2，+）。（10分）
