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1、第五章 用变分法求解连续 最优控制问题 有约束条件的泛函极值 上节讨论没有约束条件的泛函极值问题 但在 最优控制问题中 泛函J所依赖的函数总要受到受控 系统状态方程的约束 解决这类问题的思路是应用 拉格朗日乘子法 将这种有约束条件的泛函极值问 题转化为无约束条件的泛函极值问题 一 拉格朗日问题 考虑系统 n维连续可微的矢量函数 5 1 式中 设给定 初始状态为x t0 x0 终端状态x tf 自由 性能泛函为 寻求最优控制u t 将系统从初始状态x t0 x0 转移到终端状态x tf 并使性能泛函J取极值 5 2 将状态方程式 5 1 写成约束方程形式 应用拉格朗日乘子法 构造增广泛函 式中
2、t 待定的n维拉格朗日乘子矢量 5 3 定义纯量函数 称H x u t 为哈密尔顿函数 则 或 5 4 5 5 5 6 式中 5 7 对式 5 5 右边第二项作分部积分 得 将上式代入式 5 5 得 5 8 使J 取极小的必要条件是 对任意的 u和 x 都有 J 0成立 设u t 和x t 相对于最优控制u t 及最优轨线 u t 的变分为 u和 x 计算由 u和 x引起的 J 的变分为 因此得 5 9 5 10 5 11 5 12 式 5 9 称为动态系统的伴随方程或协态方程 又称为伴随矢量或协态矢量 式 5 10 即系统的状态方程 式 5 9 与式 5 10 联立称为哈密尔顿正则方程 式
3、5 11 称为控制方程 这个方程是在假设 u为任意 控制u t 取值 不受约束条件下得到的 如果u t 为容许控制 受到 的约束 u变分不能任意取值 那么 关系式 不成立 这种情况留待极 小值原理中讨论 5 13 5 14 式 5 12 称为横截条件 常用于补充边界条件 例如 若始端固定 终态自由时 由于 x t0 0 x tf 任意 则有 若始端和终端都固定时 x t0 0 x tf 0则以 作为两个边界条件 5 16 5 15 实际上 上述泛函极值的必要条件 亦可 由式 5 6 写出欧拉方程直接导出 即 5 17 应用上述条件求解最优控制的步骤如下 1 由控制方程 解出 2 将u 代入正则
4、方程解两边边值问题 求x 3 再将x 代入得为所求 例1 有系统如图1所示 欲使系统在2s内从状态 转移到 使性能泛函 试求u t 解 系统状态方程及边界条件为 由式 5 7 得 由欧拉方程 得 5个未知数x1 x2 1 2 u 由5个方程联立求得通解 4个积分常数C1 C2 C3 C4由4个边界条件 解得 因此 最优解为 最优控制u t 及最优轨线x t 如图2所示 例2 设问题同例1 但将终端状态改为 2 0 2 自由 即终端条件改成部分约束 部分自 由 重求u t x t 解 正则方程及控制方程与例1完全相同 只是 边界条件改成 时 时 代入例1的通解中可确定积分 常数 于是得 u t
5、和x t 的图像见图3 比较上述结果可见 即使是同一个问题 如果终端条件不同 其最优解也不同 二 波尔札问题 设系统状态方程 初始状态x t0 x0 终始状态x tf 满足 式中N q维向量函数 n q 5 18 5 19 性能泛函 其中 L都是连续可微的数量函数 tf是待求 的终端时间 最优控制问题是寻求控制矢量u t 将系统从 初态x t0 转移到目标集N x tf tf 0上 并使J取极小 5 20 在这类极值问题中 要处理两种类型的等式约 束 一是微分方程约束 一是终端边界约束 根据 拉格朗日乘子法 要引入两面两个乘子矢量 一个 是n维 t 另一个是q维 将等式约束条件泛函 极值化成无
6、约束条件泛函极值问题来求解 为此 构造增广泛函 写出哈密顿函数 5 22 5 21 于是 5 23 对上式中最后一次作分部积分 得 5 24 5 25 5 26 5 27 这是一个可变端点变分问题 考虑x t u t tf相对于它们最优值x t u t t f的变分 并计 算由此引起J 的一次变分 J 设 图4 可变终端各变分间的关系 从图4可知在端点处变分之间存在下列近似关系 式中 x t f x在t f时的一次变分 x t f tf x在tf t f tf时的一次变分 式 5 28 描述了在可变终端情况下 x在这两个时刻 上变分的近似关系 近似式中忽略了高阶无穷小量 5 28 考虑到式 5
7、 24 右边第一项和第二项的一次 变分各有两项 因此 有 5 29 注意到 tf x u任意性 及泛函极值存在 的必要条件 J 0式 5 29 可得极值必要条件如下 5 30 式中H x tf u tf tf tf 函数H最优轨线终端处的值 边界条件x t0 x0 5 32 终端时刻由下式计算 5 31 终端时刻由下式计算 式中H x tf u tf tf tf 函数H最优轨线终端处 的值 上述总共个2n r q 1方程 可联解出 2n r q 1个变量 5 32 最后 分析哈密尔顿函数沿最优轨线随时间 的变化规律 哈密顿函数H对时间的全导数为 5 33 如果u为最优控制 必满足 及 5 34
8、 因此 有 上式表明 哈密顿函数H沿最优轨线对时间的 全导数等于它对时间的偏导数 当H不显含t时 恒有 即常数 5 35 这就是说 对定常系统 沿最优轨线H恒为常值 例4 给定系统状态方程为 设初始状态x 0 0 终端状态约束曲线 x1 1 x2 1 1 0求使性能泛函 取极小时的最优控制u t 及最优轨线x t 解 这是个终端时间tf给定 但终端状态受约束 的拉格朗日问题 哈密顿函数 由性能泛函取极值的必要条件 得 它们的通解为 由边界条件确定积分常数 代入解得 由终端约束方程 x1 1 x2 1 1 可解出 3 7 最优解 结果如图5所示 例5 设一阶系统状态方程为 边界条件x 0 1和x tf 0 终端时刻tf待定 试确定最优控制u 使下列性能泛函 为极小 解 这里 哈密顿函数为 控制方程 正则方程 由边界条件x 0 1和x tf 0 又由式 5 32 得 即 而u tf tf 代入上式 得 其解为 由于 因此 有 最优控制 代入状态方程得 由初始条件x 0 C 1 故最优轨线 再以终端条件x tf 0代入上式 得 故最优终端时刻 最优解如图6所示 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好
