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1、2019 20202019 2020 年高中数学年高中数学 导数概念及运算解析导数概念及运算解析 新人教新人教 A A 版选修版选修 1 11 1 问题问题 1 1 导数是如何定义的 导数的几何意义是什么 导数是如何定义的 导数的几何意义是什么 知识诊断 知识诊断 导数的定义 一般的设函数在区间上有定义 当时 比值趋近于常数 则在点处可导 并 称常数为函数在点处的导数 记作 导函数 函数在区间上任一点都可导 则在各点的导数称为导函数简记为 典例分析典例分析 例题 1 设函数在处可导 则等于 A B C D 解题思路 求函数在某一点的导函数值 由定义直接计算 解析 故选 0000 0 00 li
2、mlim xx f xxf xf xxf x fx xx 技巧指引 求解本题的关键是变换出定义式 0 0 lim x f xxf x fx x 导数的几何意义 曲线f x 在某一点 x0 y0 处的导数是过点 x0 y0 的切线的斜 率 对应的切线方程为 物理意义 若物体运动方程是 000 yf xfxxx s s t 在点P i0 s t0 处导数的意义是t t0处的瞬时速度 瞬时速度 注意 注意 曲线f x 在某一点 x0 y0 处的导数不存在 但是曲线在该点不一定没有切线 而且应明确点 x0 y0 不一定是切点 典例分析 典例分析 例题 1 如图 函数的图象在点P处的切线方程是 则 解题
3、思路 区分过曲线处的切线与过点的 切线的不同 后者的点不一定在曲线上 解析 观察图形 设 过 P 点的切线方程为 即 5 5 5 5 yfxff 它与重合 比较系数知 故 2 例题 2 求在点和处的切线方程 解题思路 点在函数的曲线上 因此过点的切线的斜率就是在处的函数值 点不在函数曲线上 因此不能够直接用导数求值 要通过设切点的方法求切线 切忌切忌直接 将 看作曲线上的点用导数求解 4 4 32 1 2 x yxyxy 即过点的切线的斜率为 4 故切线为 设过点的切线的切点为 则切线的斜率为 又 故 3 1 0 682 00 2 0 xxx 即切线的斜率为 4 或 12 从而过点的切线为 技
4、巧指引 求切线方程时要注意所给的点是否是切点 若是 可以直接采用求导数的方 法求 不是则需设出切点坐标 例题 3 一球沿一斜面从停止开始自由滚下 10 s内其运动方程是s s t t2 位移单位 m 时间单位 s 求小球在t 5 时的加速度 解题思路 计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数 解析 加速度v t t t sts tt 22 00 5 5 lim 5 5 lim 10 t 10 m s 加速度v 2t 2 5 10 m s 技巧指引 计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是 1 计算 2 计算 变式练习 变式练习 1 1 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角
5、形面积是 解析 曲线和在它们的交点坐标是 1 1 两条切线方程分别是 y x 2 和 y 2x 1 它 们与轴所围成的三角形的面积是 点拨 与切线有关的问题 应有运用导数的意识 求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即 可 2 2 某质点的运动方程是 则在 t 1s 时的瞬时速度为 A 1B 3C 7D 13 解 B 点拨 计算即可 3 3 已知曲线C1 y x2与C2 y x 2 2 直线l与C1 C2都相切 求直线l的方程 解 设l与C1相切于点P x1 x12 与C2相切于Q x2 x2 2 2 对于C1 y 2x 则与C1相切于点P的切线方程为 y x12 2x1 x x1 即y 2x1x
6、 x12 对于C2 y 2 x 2 与C2相切于点Q的切线方程为y x2 2 2 2 x2 2 x x2 即y 2 x2 2 x x22 4 两切线重合 2x1 2 x2 2 且 x12 x22 4 解得x1 0 x2 2 或x1 2 x2 0 直线l方程为y 0 或y 4x 4 点拨 利用解方程组求交点 利用直线间的位置和待定系数法求斜率 问题问题 3 3 导数运算的基本法则是什么 导数运算的基本法则是什么 知识诊断知识诊断 1 几种常见函数的导数 为常数 2 导数的运算法则 1 2 复合函数的求导法则 或 典例分析 典例分析 例题例题 1 1 求下列函数的导数 1 2 3 解题思路 按运算
7、法则进行 解析 1 cos cos cos cossin xxxxx yexyexexexex 2 2 2 2 2 sincossin sin tan 2 coscos xxxx yxxyxx xx 3 例题例题 2 2 已知 则 解题思路 复合函数求导数计算不熟练 其与系数不一样也是一个复合的过程 有的同学 忽视了 导致错解为 设 则 2 2sin 2 2cos1 2 xxuxuuyy xux 2cos1 2sin42 2sin 2xxxu 技巧指引 注意复合函数的求导方法 分解求导回代 注意问题的变通 如的导数容 易求错 但的导数不易求错 例题例题 3 3 已知函数 32 3 2 23 R
8、 xxaxxxf 1 若 点 P 为曲线上的一个动点 求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程 2 若函数上为单调增函数 试求满足条件的最大整数a 解题思路 求导运算后求切线方程 求导运算后求切线方程 先按运算法则求导 再按几何意义求切线方程 解析 1 设切线的斜率为k 则1 1 2342 22 xxxxfk 又 所以所求切线的方程为 即 技巧指引 求三次函数图象的切线在高考中经常出现 例题例题 4 4 某市在一次降雨过程中 降雨量与时间的函数关系可近似地表示为 则在时刻的降 雨强度为 A B C D 解题思路 求导运算后的小应用题 求导运算后的小应用题 先对的求导 再代的数值 解析
9、选 D 1551 10 40 42 1010400 f tf tt 技巧指引 求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率 即那一时刻的导数值 变式练习 1 1 设函数 且 则 2 3 f xx xkxkxk A 0 B 1 C 3 D 6 思路分析 按导数乘积运算法则先求导 然后由已知条件构造关于的方程求解 解 先求导再将 0 代入故 又 故 2 2 设函数 是两两不等的常数 f xxa xb xc 则 解析 代入即得 0 fxxa xbxb xcxc xa 3 3 质量为的物体按的规律作直线运动 动能 则物体在运动后的动能是 解析 先求瞬时速度后 再代入公式求解提 3125J 演练广场 演练广场
10、基础巩固训练基础巩固训练 1 1 是的导函数 则的值是 解析 故 3 2 2 在处的导数值是 解析 故填 3 已知直线x 2y 4 0 与抛物线y2 4x相交于 A B两点 O是坐标原点 P 是抛物线的弧 上求一点P 当 PAB面积最大时 P 点坐标为 解析 AB 为定值 PAB面积最大 只要P到AB的距离最大 只 要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点 设P x y 由图可知 点P在x轴下方的图象上 y 2 y kAB x 4 代入y2 4x y 0 得y 4 P 4 4 4 已知 直线与函数 的图像都相切 且与函数的图像的切点的横坐标为 1 求直线的 方程及的值 解 依题意知 直线是函数在
11、点处的切线 故其斜率 所以直线的方程为 又因为直线与的图像相切 所以由 2 2 1 19 1 0 17 22 22 yx xmx yxmx 得 不合题意 舍去 2 1 902mm 5 已知函数的图象都相 2 1 ln 2 xgxflaaxxgxxf与函数直线为常数 切 且l与函数图象的切点的横坐标为 1 求直线l的方程及a的值 解由 故直线l的斜率为 1 切点为 即 1 0 又 2 1 1 1 axxg 切点为 即 比较 和 的系数得 综合拔高训练综合拔高训练 6 对于三次函数 定义 设是函数的导函数的导数 若 32 0 f xaxbxcxd a 有实数解 则称点为函数的 拐点 现已知 请解答
12、下列问题 1 求函数的 拐点 A 的坐标 2 求证的图象关于 拐点 A 对称 并写出对于任意的三次函数都成立的有关 拐点 的一个结论 此结论不要求证明 解析 1 令得 拐点 2 设是图象上任意一点 则 因为关于的对称点为 把代入得 左边 右边 32 000 2 3 2 2 2 2xxx 右边 右边在图象上关于 A 对称 7 已知定义在正实数集上的函数 其中 设两曲线 22 1 2 3ln 2 f xxax g xaxb 有公共点 且在公共点处的切线相同 1 若 求的值 2 用表示 并求的最大值 解 1 设与在公共点处的切线相同 由题意知 0000 f xg xfxg x 2 000 0 0 1
13、 23ln 2 3 2 xxxb x x 由得 或 舍去 即有 2 设与在公共点处的切线相同 2 3 2 a fxxa g x x 由题意知 0000 f xg xfxg x 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 由得 或 舍去 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 则 于是 当 即时 当 即时 故在的最大值为 故的最大值为 8 设三次函数在处取得极值 其图象在处的切线的 32 f xaxbxcxd abc 斜率为 求证 解 方法一 由题设 得 2 323fmambmca 由 代入 得 得 或 将代入中 得 由 得 方法二
14、 同上可得 将 1 变为 代入 2 可得 2 3201 32302 abc m abmac 所以 则 22 2 2 20 13 1 24 m cm c b mm m 方法三 同上可得 将 1 变为 代入 2 可得 2 3201 32302 abc m abmac 显然 所以 因为图象的开口向下 且有一根为x1 1 由韦达定理得 所以 即 则 由得 所以 高考真题再现 1 xxxx 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则 A 64 B 32 C 16 D 8 命题意图 本试题主要考查求导法则 导数的几何意义 切线的求法和三角形的面积公 式 考
15、查考生的计算能力 解析 33 22 11 22 yxka 切线方程是 令 令 三角形的面积是 解得 故选 A 2 xxxx 辽宁文数 辽宁文数 已知点在曲线上 为曲线在点处的切线的倾斜角 则的取值范围是 A 0 B C D 命题立意 本题考查了导数的几何意义 求导运算以及三角函数的知识 解析 选 D 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 即 3 xxxx 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 若曲线在点处的切线方程是 则 A B C D 解析解析 A A 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 在切线 在切线
16、 4 xxxx 江苏卷 江苏卷 将边长为 1m 正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一 块是梯形 记 则 S 的最小值是 解析 考查函数中的建模应用 等价转化思想 一题多解 设设剪成的小正小正三角形的边长为 则 22 2 3 4 3 01 1133 1 1 22 xx Sx x xx 方法一 利用导数求函数最小值 方法一 利用导数求函数最小值 22 22 4 26 1 3 2 1 3 xxxx S x x 22 2222 4 26 1 3 2 42 31 3 1 1 33 xxxxxx xx 当时 递减 当时 递增 故当时 S 的最小值是 方法二 利用函数的方法求最小值 方法二 利用函数的方法求最小值 令令 11 1 3 2 3 3 2 xt t t 则 则 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当时 S 的最小值是
