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1、第三节 极限的运算 一 极限的四则运算 二 基本初等函数的极限 三 复合函数的极限运算法则 定理2 8 设 则 一 极限的四则运算 下面的定理 仅就函数极限的情形给出 所得的结 论对数列极限也成立 其中自变量x的变化过程也可以是 的各种 情形 证 定理2 8中的 1 和 2 可以推广到有限个函数的代 数和及乘积的极限情况 结论 2 还有如下常用的推论 推论1 设limf x 存在 则对于常数c 有 推论2 设limf x 存在 则对于正整数k 有 例1 解 例2 求 解 例3 求 解 例4 解 把分式的分子 分母同时除以x2 得 其中k l为正整数 例5 求 解 把分式的分子 分母同时除以x4
2、 得 一般地 设有多项式 有理整函数 则有 设有理分式函数 有理整函数与有理分式函数统称 为有理函数 即 式 3 与式 4 说明对于有理函数求关于 的 极限时 如果有理函数在点 有定义 其极限值就是 在 点处的函数值 以后可以当做公式使用 例6 求极限 解 例7 解 例8 解 例9 解 例10 解 其中m n为正整数 二 基本初等函数 定理2 4 设f x 是基本初等函数 并设其定义域为I 点 则有 三 复合函数的极限运算法则 定理2 5 复合函数的极限运算法则 设y f g x 是由 函数f u 与函数u g x 复合而成的 f g x 在点x0的某 去心邻域 内有定义 若 且当 时 则 定理2 6 极限记号与函数记号交换次序定理 设 y f g x 是由函数f u 与函数u g x 复合而成的 f g x 在点x0的某去心邻域 内有定义 若 则 其中一头一尾两式成为 这以为着极限记号 与函数记号f可以交换次序 例11 求 解 例12 求 解
