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1、第五节第五节 群元空间 1 群元空间 Group element space 1 2 正交归一性的证明 正交归一性的证明 个表示矢量 线性独立 所有不可约表示的维数平方和 可见 C3v 群无3维不可约表示 3 2 类空间 Class space 定义类矢量 群G的元素按类区分 C1 C2 Cc c个类矢量 彼此线性独立 4 以以c c个类矢量为基矢 组成个类矢量为基矢 组成 c c维线性空间 即维线性空间 即类空间类空间 群元空间的子空 群元空间的子空 间 间 对每个不可约表示 在类空间确定一组线性独立 的矢量 综上 5 群群G 群乘 内积 加法 数乘 群乘 内积 加法 数乘 群元素在群元空间
2、中既是矢量 又是算符 群元算符t 群元空间是群元算符的封闭空间 6 正规表示 regular representation 群元空间作为表示空间 群元本身作为算符 算符 群元 作用在此空间的基矢上的矩阵 构成群的一个表示 称为群的正规表示 类似于函数空间 7 正规表示特点 1 表示矩阵每一行 每一列只有一个元素 1 其余 0 2 表示矩阵维数 g 3 除了单位元 其他群元的表示矩阵的对角元 都 0 习题 构造 D3 群的正规表示 在正规表示中 8 不可约表示的维数定理 勃恩赛特 Burnside 定理 一个群的全部不可约表示的维数的平方和 等于群阶 C3v 群的不可约表示 3个 1维 1维 2
3、维 9 不可约表示矩阵元的完全 备 性定理 10 11 不可约表示特征标的完备性定理不可约表示特征标的完备性定理 不可约表示特征标的正交性定理 12 证明 证明 li维 Cl 类中所有群元的第i个不可约表示矩 阵之和 M il 与不可约表示Di对易 M il 必为I0常数 倍 类似有 13 14 15 特征标表 将一个群的所有不等价不可约表示的特征将一个群的所有不等价不可约表示的特征 标系一行一行地排列起来形成的表 标系一行一行地排列起来形成的表 类特征标表 以类的名称为群元标志给出的特征标表 16 例1 确定C2群的特征标表 C2ec2 1 11 2 1 1 有 2 个类 l1 1 l2 1
4、 17 确定有限群的特征标表的一般方法 确定有限群的特征标表的一般方法 1 1 确定不可约表示的个数和相应维数 确定不可约表示的个数和相应维数 2 2 必有单位表示 必有单位表示 3 3 单位元表示的特征标等于表示的维度单位元表示的特征标等于表示的维度 4 4 利用特征标的正交性 完备性定理 利用特征标的正交性 完备性定理 5 5 利用某些群元的特殊性质 利用某些群元的特殊性质 6 6 利用商群 利用商群 18 例2 C3v 群有几个不可约表示 各自维数是多少 求出特征标和表示矩阵 解 111 1 2 19 一维表示时 特征标就是表示矩阵 有 一维表示时 特征标就是表示矩阵 有 20 以以x
5、x y y为基矢时 为基矢时 C C 3 3v v 的不可约表示矩阵的不可约表示矩阵D D 3 3 如下 如下 21 C C 3v3v的一个三维表示 的一个三维表示D D 丁培柱 丁培柱p53 p53 x x 2 2 y y2 2 2 2xyxy 下的表示下的表示 22 23 根据不可约表示的判据 所以此表示为可约表示 24 1 有限的Abel群 其所有不可约表示都是一 维的 2 除单位表示外 有限群的任一不可约表 示的特征标对 所有群元求和等于零 由 令 为单 位表示 有 25 例3 确定C4v群的所有不可约表示的特征标系 my v u mx 1 2 34 26 11111 1 1 1 1
6、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x1 0 x2 2 x3 0 x4 0 27 1和3列对应 相乘再加 0 x2 2 类推 留作习题 28 对于有限群 需要做以下工作 对于有限群 需要做以下工作 不可约表示的数目及其维度 不可约表示的数目及其维度 不可约表示的特征标表 不可约表示的特征标表 不可约表示的矩阵形式 不可约表示的矩阵形式 判定一个矩阵表示是否可约 判定一个矩阵表示是否可约 把一个可约表示化成不可约表示的直和 把一个可约表示化成不可约表示的直和 寻找可约表示空间的约化基矢 寻找可约表示空间的约化基矢 29 第六节第六节 可约表示的约化 可约表示的约化 投影算符法投影算符法
7、 有限群G在某线性空间V中有可约表示D 其实 D R 的约化计算并不容易 30 按新基矢 分类 j 不可约表示 i 出现次数 k 第k列基矢 准对角化过程 相当于基矢做了变换 31 即 用旧基矢的线性组合来表达新基矢 由已知的 可约表示的基矢确定不可约表示的基矢 可见 构成一个不可约表示的不变 子空间 如何确定这些基矢呢 32 投影算符Pj 的涵义 1 从N个不可约表示基矢中 投影出 基矢 i 任意 有 aj 个 33 j 固定 令 i 1 aj 构成一个 aj 维空间 E j子空间 V 中任一函数 用 Pj 作用 投影算符Pj 的涵义 2 Pj 是V 到 E j 上的投影算符 34 定理1
8、f1 fN是空间V 的基矢 N 个矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量 这aj个矢 量可作为E j子空间的基矢 证明 欲证 中有aj个线性独立的矢量 只需 证 任意属于E j的矢量均可用N个矢量 线性 组合表示 35 定理2 E j子空间中有一个归一化的矢量 必 可由该矢量生成lj个正交归一矢量 构成不可约表 示D j的基矢 36 可作为第j个不可约表示的正交归 一基矢 生成不可约表示D j的一个不变子空间 证毕 这组矢量就是不可约表示D j的约化基矢 37 类似地 共可构造aj个不同的基矢组 生成 aj个按D j变换的不变子空间 它们彼此正交 38 即可由一个 得到 进而可由一个 得 到 定
9、义位移算符 39 例1 f1 x2 f2 y2 f3 2xy D3群 表示矩阵如下 40 D D 3 3 群的群的不可约表示的特征标表 不可约表示的特征标表 e2c3 111 11 1 2 10 41 该表示的特征标系 3 0 0 1 1 1 42 构造投影算符 43 运用运用位移算符确定位移算符确定 44 例2 群 和 的直积群 构造直积群的两个群必须满足 1 只有一个公共元素 单位元 2 分别来自两个直积因子中的任两个元素对易 如 垂直转轴之平面的镜面反射 P h P P P 45 循环群是Abel群 类的数目 群阶 有6个不可约表示 所有不可约表示都是一维的 特征标就是表示矩阵 循环群
10、生成元为 问题 1 求所有不可约表示的特征标系 46 11111 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 47 48 一维维表示肯定是不可约约的 而且 特征标标的模一定 等于1 否则发 散 且一个群元可有多个特征标 当 时 检验 如 成立 49 的正规子群 其商群为 与 是同 构关系 11 1 1 二阶群的表示是唯一的 都是一维的 Abel群 50 111 1 1 另一个商群 三阶群的表示也是唯一的 都是一维的 Abel群 此商群与 C3 同构 51 问题 2 求 在三维实空间上的一个表示及其约化 设 c3 的转轴为z轴 建立坐标系 基矢为 对应 x y z 轴的单位矢量 52
11、 三维空间构成 群的封闭空间 每个群元在此空 间中必有表示 从而其他群元的表示可由群乘求出 53 的不可约表示都是一维的 所以上述表示都是 可约的 现在用投影算符方法确定可约表示空间的约 化基矢 54 55 56 57 对应于 的不可约表示 同理可得其他 元素的不可约表示 58 即 形成新的约化基矢 59 第七节 直积群的表示 111 1 1 11 1 1 60 如何构造直积群G的表示 la维矩阵与lb维矩阵的直积是la lb 维的 m n维矩阵与p q维矩阵的直积是mp nq 维的 矩阵直积的定义 61 直积群的表示就是直因子相应群元的表示的直积 直因子群表示的直积构成直积群的表示 证明 只需证对于 定有 即 62 直因子群的两个不可约表示矩阵的直积构成 直积群的不可约表示 利用不可约表示的判据 63 直因子群的所有不可约表示的直积给出 直积群的全部不可约表示 可见 说明直因子群所有不可约表示的直 积表示的个数 直积群的不可约表示的个数 推论成立 证 直积群G Ga Gb Ga 的不可约表示Da 维度 la Gb Db lb G的不可约表示D 维度Labg la lb 有 64 同第100页结果 举例 由 C3和 C1h的不可约表示构造C3h的不可约表示 65
