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1、1,第六章 连续时间和离散时间系统 的频域分析 6.1引言 6.2LTI系统对复指数信号的响应 频率响应 6.3互联系统的频率响应 级联和并联结构 6.4.利用H(j)或H(ej)求系统对任意输入的响应 6.5.LTI系统频率响应的模和相位表示 6. 6滤波和理想滤波器 6. 7用微分方程和差分方程描述的非理想滤波器 6. 8希尔伯特变换 6. 9带通频率选择性滤波系统的运用 6. 1 0连续时间信号的离散时间处理,2,时域分析主要方法：卷积积分、卷积和。特点：能直观的观察信号变化规律，但不易 获得很清楚的物理解释。出发点：把输入信号表示为(t) 或n 的加权积分（和）。,6.1引言,3,频域
2、分析主要方法：把对应不同频率复指数 信号的响应进行叠加。特点：能直观的分析不同频率信号在系统中的响应情况。对滤波、抽样、调制等问题能给出较准确的物理解释。出发点：以复指数信号为基本信号，把输入信号表示成复指数信号的线性组合。,4,1.特征函数、特征值、频率响应 对复指数信号est , zn 其中：s = + j,z = rej 系统单位冲激响应为 h(t) （或 hn）, 则其零状态响应：,6.2 LTI系统对复指数信号的响应 频率响应,5,设：,6,则系统的输入输出关系可表示为：,est , zn -系统的特征函数 H(s),H(z) -系统的特征值令 s=j，z = ej 则,7,系统的输
3、出与输入同频率;H(j) 、H(ej) 是系统的稳态频率响应。 极坐标形式：,8,所以,H(j)和H(ej)改变的只是振幅和相位。对任意信号,由卷积定理： y(t)=h(t)*x(t) Y()=H(j)X() yn=hn*xn Y(ej) = H(ej)X (ej),9,H(j)和H(ej)的不同定义形式：（1）系统的特征值。（2）h(t)（或hn）的傅里叶变换（3）H(j)=Y(j)/X(j) H(ej)=Y(ej) /X (ej)系统的网络传递函数（简称：传函，网络函数）系统的频率响应,10,2.线性常系数微分方程和差分方程描述的系统的频率响应 N阶微分方程：,11,N阶差分方程：,12,
4、特性： H(j)= H *(-j) H(ej)= H *(e-j) 高阶微分（差分）方程描述的系统，在起始松弛条件下（起始状态为零)一定是因果的 。,3.电路的频域模型复阻抗模型（相量法）,13,1.互联系统的频率响应 级联：,6.3 互联系统的频率响应 级联和并联结构,并联：,14,反馈：如图6-2,15,2.级联和并联结构(混联） 可以把复杂系统分解成简单系统的级联或并联。 同一系统可以分解成多种不同形式的结构。,16,1.有始信号接入LTI系统的零状态响应 -无始信号 -有始信号,6.4.利用频率响应H(j)或H(ej)求系统对任意输入的响应,17,例6-7 单位阶跃电压作用于图6-6(
5、a)所示RL电路，求电阻R上的响应电压。电感L初始电流为零。,(a) (b) 图6-6 简单RL电路及其变换电路,18,解：这是一个求解LTI系统对有始信号或者说对非周期性输入的响应问题。首先应用图6-6(b)所示RL电路的变换电路求出电路的频率响应，即 单位阶跃输入的傅里叶变换是 于是响应 的傅里叶变换为,19,求 的反变换，则得,20,2.傅里叶级数与LTI系统 设 x(t)、xn为周期信号,系统输出：,21,y(t)、yn也是周期函数，与输入有相同基波频率。 bk 为y(t)（或yn）的傅里叶系数。 LTI系统对周期输入的响应是稳态响应。,22,第六章习题（1）6.26.4 (b) (c
6、)6.6 (b) (d)6.9 (a) (b),23,由 Y()=H(j)X() 可知：|Y()|=|H(j)|X()| argY()=argH()+argX(),6.5 LTI系统频率响应的模和相位表示,24,-系统的增益 -系统的相移 若系统增益不为常数，将引起幅度失真。 若系统相移不为线性，将引起相位失真。 1.无失真传输 定义：,25,无失真传输时域条件：无失真传输频域条件：信号通过系统的时移为： 群延时：,26,无失真传输系统的模与相位特性,0,27,例 6-11 有一窄带输入信号x(t)通过一个连续时间LTI系统，x(t)频谱的有效成分分布在以=0为中心的很小频率范围内。试检查该系
7、统对x(t)所产生的效果。解：由于输入信号x(t)的频带相对于系统允许通过的信号频率范围很小，则可以将该系统的相位特性在x(t)频带内准确地用线性关系来近似，即:这样就有:,28,因此，这个系统对于窄带输入信号频谱的近似效果有如下三部分组成：(1)对应系统模特性|H(j)|的幅度成形部分。所谓幅度成形就是有意识地利用系统引起的幅度失真来形成某种特定的频谱形状(如滤波器)，这是与无失真传输要求相反的另一种实际应用情况。(2)乘以一个恒定的复数因子(与频率无关) 。(3)对应于线性相移项 ，使x(t)以 为中心的很少一组频率成分受到有效公共延时 秒。这个时延就是在 的群时延。,29,2.对数模与波
8、特图 (1）对数模：log|Y()|、log|X()|、log|H(j )| 若： 或 则：,（级联系统如 多级放大器）,30,利用对数模可把乘积运算转化为代数运算，并与相频特性 或 的运算对应起来。 (2)波特图： 横轴（轴）-用对数表示（对数频率坐标） 纵轴 -幅度（模）用 相角仍用 argH(j)表示,如图6-10,31,图6-10典型的波特图,32,33,滤波器：基本上无失真地通过某些频率分量 而显著地衰减掉（消除掉）另一些 频率分量的系统。1.理想频率选择性滤波器的频域特性 常用术语：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器通（频）带、阻带、截止频率 理想连续时间滤波器频率响应如图6-12
9、,图6-13所示。,6.6 滤波和理想滤波器,理想离散时间滤波器频率响应如图6-14,34,阻带 通带 阻带 图6-12 理想低通滤波器的频率响应 (a) (b) 图6-13 理想高通(a)和理想带通(b) 滤波器的频率响应,35,(a)低通,(b)高通,(c)带通,图6-14 离散时间理想频率选择性滤波器,36,2.理想频率选择性滤波器的时域特性 理想低通滤波器：,37,H(j)的通带宽度正比于c(或 c )，而 h(t) 的有效频带宽度正比于 1/ c (或1/ c ) ，如图：,38,3.理想低通滤波器的阶跃响应,其中：,-正弦积分,39,s(t)的波形如图6-19所示。,40,波形特点
10、：（1）s(t)上升较u(t)慢，因为高于c 的高频成分被滤掉了。（2）上升时间tr=2 /c ，与c成反比，二者的乘积为常数。（3）s(t)有过冲振荡。（4）s(t)与h(t)一样，不满足因果性要求。,41,非理想（实际）滤波器的特性：容限图。如图6-20,6.7用微分方程和差分方程描述的非理想滤波器,指标： 1-通带起伏 2-阻带起伏 c-通带边界频率s-阻带边界频率,42,1.用微分方程描述的非理想滤波器在满足技术要求条件下，对理想特性进行因果逼近。（1）选择因果系统（2）在容限条件下逼近理想特性,例6-12 一阶低通滤波器例6-13 二阶低通滤波器比较以上两个例子，可以得出结论：(1)
11、线性常微分方程表征系统具有因果性，可实现。(2)与理想特性的逼近程度和系统阶数及参数有关。,43,巴特沃斯低通滤波器：利用巴特沃斯逼近法设计出的滤波器（最平逼近）,特性见图6-23，图6-24。,44,图6-23 巴特沃斯低通滤波器线性模特性,45,图6-24 巴特沃斯低通滤波器对数模特性,46,由图可见：,(1)升高，|H(j)|单调下降，N越大, |H()|下降越快。(2) 0(直流)时, |H()|平坦，N越大，平坦范围越宽。(3) =c时， |H(j)|= （-3dB）,与N无关。由（6-97）（6-98）（6-99）式可设计巴特沃斯滤波器。,2.用差分方程描述的非理想滤波器（自学）非递归差分方程描述的离散时间系统-FIR滤波器递归差分方程描述的离散时间系统-IIR滤波器,47,第六章习题（2）6.116.15,48,1.因果LTI系统的希尔伯特（Hilbert）变换特性 由于因果性限制，ReH(j)和ImH(j)之间具有相互制约的特性。 对连续时间因果系统： h(t)=h(t)u(t) (h(t)=0 , t 0 。解：由于已知e j0 t= cos0 t +jsin0 t ，若能证明其实部cos0 t与虚部sin0 t之间满足希尔伯特变换，就证明了e j0 t为一解析信号。 应用卷积定理得实部cos0 t的伴随信号 的傅里叶变换是,
