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1、4 3 二元函数的极值 4 3 1 二元函数的极值 案例4 1 某工厂生产两种产品I和II 出售单价分别为10元和9元 生产 单位的产品I与生产 单位的产品II的总费用是 元 问两种产品的产量各多少时 取得最大利润 这是二元函数的最优化问题 例4 5 如果二元函数 对于点 的某一邻域内 的所有点 总有 则称 是函数 的极大值 点 称为极大点 如果总有 则称 是函数 的极小值 点 称为极小点 解 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 定理 4 2 极值存在的必要条件 如果函数 在点 处有极值 且两个一阶偏导数存在 则有 使函数的各偏导数同时为零的点 称为函数的驻点 极值点
2、可能在驻点取得 但驻点不一定是极值点 极值点也可能是使偏导数不存在的点 定理 4 3 极值存在的充分条件 如果函数 在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数 且 是它的驻点 设 则 1 如果 且 则 是极大值 2 如果 且 则 是极小值 3 如果 则 不是极值 4 如果 则不能确定 是否为极值 需找另外方法判别 例4 3 1求函数 的极值 解 因为 得驻点 和 又 对于点 故点 不是极值点 对于点 故点 是极小值点 极小值为 如果二元函数 区域上一定有最大值和最小值 在有界闭区域上连续 函数在该 对于实际应用问题 如同一元函数那样 如果问题的最大值 或 最小值 确实是存在的 而在定义域内只有唯一的
3、驻点 那么可以肯定 在该点取得最大值 或最小值 案例4 3 某工厂生产两种产品I和II 出售单价分别为10元和9元 生产 单位的产品I与生产 单位的产品II的总费用是 元 问两种产品的产量各多少时 取得最大利润 解 设 表示产品甲和乙分别为 单位与 因为总利润等于总收入减去总费用 所以 单位时所获得的总利润 由 得唯一驻点 而又由该问题的实际意义可知 最大利润是存在的 所以 当 且 时 生产甲产品120件 是最大值 由题意知 乙产品80件时所得利润最大 4 3 2 二元函数的条件极值 二元函数 极值的求法中 两个自变量 与 互相独立的 即不受其他条件约束 这样的极值称为无条件极值 如果自变量
4、与 之间还要满足一定的条件 则把此条件称为约束条件或约束方程 这种对自变量有附加条件限制的 极值称为条件极值 求函数 在约束条件 下的拉格朗日乘数法基本步骤 第一步 构造拉格朗日函数 第二步 求 对 与 的一阶偏导数 并构成一个联立方程组 消去 解出 对 得点 则函数 的极值可能在点 处取得 第三步 判别点 是否是极值点 解 利润为 由题意知 令 解联立方程组 消去 解得 根据问题的实际意义 在点 处 当两种广告费分别为 千元和 千元时 可使利润最大 例4 3 2 销售收入 与花费在两种广告宣传上的费用 和 之间的关系为 单位 千元 利润额相当于 的销售收入并且扣除广告费用 已知广告费用总额预算金为25 千元 求如何分配两种广告费用 才能使利润最大 有唯一的极大值 所以 小结 1 二元函数的极值的概念 2 极值存在的必要条件 如果函数 在点 处有极值 且两个一阶偏导数存在 则有 其中 称为函数的驻点 极值点可能在驻点取得 但驻点不一定是极值点 极值点也可能 是使偏导数不存在的点 小结 3 极值存在的充分条件 4 条件极值与拉格朗日乘数法 对自变量有附加条件限制的极值称为条件极值 求 在条件 下的极值点 用拉格朗日乘数法是 1 构造拉格朗日函数 2 解方程组 得可能极值点 3 判别点 是否是极值点 作业 习题46 2 7 8
