概率论教学课件作者工程 概率论部分——第一讲 兼容模式

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1、2014 9 12北京邮电大学电子工程学院1 17 18世纪 数学获得了巨大的进步 数学家 们冲破了古希腊的演绎框架 向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感 数学领域出现了众多崭新的生 长点 而后都发展成完整的数学分支 除了分析学 这一大系统之外 概率论就是这一时期 使欧几里 得几何相形见绌 的若干重大成就之一 概率论简史概率论简史 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院2 概率论起源于赌博问题的研究概率论起源于赌博问题的研究 早在早在16世纪世纪 意大意大 利学者卡丹与塔塔里亚等人就从数学角度研究过赌博问利学者卡丹与塔塔里亚等人就从数学角度研究过赌博问 题题 他们的研究除了赌博外还与当时的

2、人口他们的研究除了赌博外还与当时的人口 保险业等保险业等 有关有关 但由于卡丹等人的思想未引起重视但由于卡丹等人的思想未引起重视 概率概念的概率概念的 要旨也不明确要旨也不明确 于是很快就被人淡忘了于是很快就被人淡忘了 概率论简史概率论简史 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院3 伽利略伽利略 Galileo 近代自然科学创始人之一近代自然科学创始人之一 1564 1642 解决了以下问题解决了以下问题 同时投下三颗骰同时投下三颗骰子子 点点 数和数和为为9的情形的情形有有6 种种 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 和和 3 3 3 点数和为点数和为10 的情形

3、也的情形也 有有6 种种 1 3 6 1 4 5 2 2 6 2 3 5 2 4 4 和和 3 3 4 那么出现点数和为那么出现点数和为9 与与10 的机会应相同的机会应相同 而经验告知而经验告知 出现出现10 的机会比出现的机会比出现9 的机会要多的机会要多 原因原因 何在何在 伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子出现点数 和为和为9 的情形有的情形有25 种种 而出现点数和为而出现点数和为10的情形却有的情形却有27 种种 可见可见 已经产生了已经产生了概率论的某些萌芽概率论的某些萌芽 概率论简史概率论简史 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院

4、4 概率概念的要旨在概率概念的要旨在1717世纪中叶法国数学家帕斯卡与世纪中叶法国数学家帕斯卡与 费马的讨论中才比较明确费马的讨论中才比较明确 概率论简史概率论简史 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院5 概率论简史概率论简史 1653年的夏天 法国著名的数学家 物理学家帕斯卡 Blaise Pascal 1623 1662 前往浦埃托镇度假 旅途中 他遇到了 赌坛老手 梅累 为了消除旅途的寂寞 梅累向帕 斯卡提出了一个十分有趣的 分赌注 的问题 问题如下 梅 累与其赌友赌掷骰子 每人押了32个金币 并事先约定 如 果梅累先掷出三个6点 或其赌友先掷出三个4点 便算赢家 遗憾的是 这场赌

5、注不算小的赌博并未能顺利结束 当梅累掷 出两次6点 其赌友掷出一次4点时 梅累接到通知 要他马 上陪同国王接见外宾 君命难违 但就此收回各自的赌注又不 甘心 他们只好按照已有的成绩分取这64个金币 这下可把 他难住了 所以 当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡 就迫不及待地 向他请教了 然而 梅累的貌似简单的问题 却真正难住他了 虽然经过了长时间的探索 但他还是无法解决这个问题 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院6 概率论简史概率论简史 1654年左右 帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的 合 理分配赌金 的问题 该问题简化为 甲 乙两人同掷一枚硬币 规定 正面朝上 甲 得一点 若反面朝上 乙得

6、一点 先积满3点者赢取全部赌注 假定 在甲得2点 乙得1点时 赌局由于某种原因中止了 问应该怎样分 配赌注才算公平合理 帕斯卡 若再掷一次 甲胜 甲获全部赌注 两种情况可能性 相同 所以这两种情况平均一下 乙胜 甲 乙平分赌注 甲应得赌 金的3 4 乙得赌金的1 4 费马 结束赌局至多还要2局 结果为四种等可能情况 情况情况1234 结果甲甲甲乙乙甲乙乙 前3种情况 甲获全部赌金 仅第四种情况 乙获全部赌注 所以 甲分得赌金的3 4 乙得赌金的1 4 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院7 概率论简史概率论简史 该问题一般情形为 两个赌徒约定赌若干局 且 谁先赢 s 局便算赢家 若在一赌

7、徒胜 a 局 a s 另一 赌徒胜b局 b s 时便终止赌博 问应如何分赌本 费马 由甲已胜a 局 乙已胜b 局 要结束这场赌 博最多还需要赌局 1sasb 帕斯卡 给出了以上问题的通解 令 msansb 则甲乙应得赌金之比为 011 111 011 111 n m nm nm n m m nm nm n CCC CCC 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院8 概率论简史概率论简史 费马和帕斯卡虽然没有明确定义概率的概念 但是他 们定义了使某赌徒获胜的机遇 也就是赢的情况数与所 有可能情况数的比 这实际上就是概率 所以概率的发 展被认为是从帕斯卡和费马开始的 正如对概率论有卓越贡献的法国

8、数学家泊松 Poisson 1781 1840 后来所说 由一位广有交游的人向一位严肃 的冉森派所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演 算的起源 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院9 概率论简史概率论简史 在这期间 荷兰数学家惠更斯 C Huygens 1629 1695 恰好在巴黎 也参与过他俩的讨论 后来 在 1657年 他把讨论结果写成了一本书 论赌博中的计 算 这是概率论发展史上的第一本著作 在概率论的现代表述中 概率是基本概念 数学期 望则是第二级的概念 但在历史上顺序却相反 先有数 学期望的概念 而古典概型的概率定义 完全可以从期 望概念中导出来 因此 可以认为概率论从此

9、诞生了 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院10 概率论简史简史 使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是瑞士 数学家雅各布 伯努利 他的重要贡献是建立了概率论 中的第一个极限定理 即伯努利大数定律 发表在 1713出版的遗著 猜度术 中 美国概率史专家海金 Hacking 称此书标志着 概率漫长的形成过程的终 结与数学概率论的开端 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院11 概率论简史 到1730年 法国数学家棣莫弗出版其著作 分析杂 论 当中包含了著名的 棣莫弗 拉普拉斯定理 这就 是概率论中第二个基本极限定理 中心极限定理 的原始 雏形 接着拉普拉斯在1812年出版的 概率的分析

10、理论 中 首先明确地对概率作了古典的定义 拉普拉斯以强有力的 分析工具处理了概率论的基本内容 实现了从组合技巧向 分析方法的过渡 使以往零散的结果系统化 开辟了概率 论发展的新时期 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院12 概率论简史概率论简史 另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松 他 推广了伯努利形式下的大数定律 研究得出了一种新的分 布 就是泊松分布 概率论继他们之后 在19世纪后期 其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中 心极限定理 俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献 他建立了 关于独立随机变量序列的大数定律 推广了棣莫弗 拉普 拉斯的极限定理 切比雪夫的成果后

11、被其学生马尔可夫发 扬光大 影响了20世纪概率论发展的进程 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院13 概率论简史概率论简史 19世纪末 一方面概率论在统计物理等领域的应用 提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要 另一 方面 科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭 示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处 这 些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的 考察 也就是建立概率论的公理化体系 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院14 概率论简史概率论简史 俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯 米西斯 R von Mises 1883 1953 对概率论的严格化做了最早的尝

12、试 但他 们提出的公理理论并不完善 事实上 真正严格的公理化概率 论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立 测度论的 奠基人 法国数学家博雷尔 E Borel 1781 1956 首先将测度 论方法引入概率论重要问题的研究 并且他的工作激起了数学 家们沿这一崭新方向的一系列搜索 特别是原苏联数学家科尔 莫戈罗夫的工作最为卓著 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院15 概率论简史概率论简史 1933年 科尔莫戈罗夫出版了他的著作 概率论 基础 这是概率论的一部经典性著作 其中 科尔 莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念 提 出了六条公理 整个概率论大厦可以从这六条公理出 发建筑起

13、来 科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学 家们的普遍认可 由于公理化 概率论成为一门严格 的演绎科学 并通过集合论与其它数学分支密切地联 系者 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院16 概率论简史概率论简史 在公理化基础上 现代概率论取得了一系列理论 突破 公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新 的起点 1931年 科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了 一类普通的随机过程 马尔可夫过程的理论基础 科尔莫戈罗夫之后 对随机过程的研究做出重大 贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维 P Levy 1886 1971 辛钦 杜布 J L Dob 和伊藤清 等 2014 9 12北京邮电大学电

14、子工程学院17 概率论简史概率论简史 1948年莱维出版的著作 随机过程与布朗运动 提出 了独立增量过程的一般理论 并以此为基础极大地推进了作 为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究 1934年 辛 钦提出平稳过程的相关理论 1939年 维尔 J Ville 引进 鞅 的概念 1950年起 杜布对鞅概念进行了系统的研究而使 鞅论成为一门独立的分支 从1942年开始 日本数学家伊 藤清引进了随机积分与随机微分方程 不仅开辟了随机过程 研究的新道路 而且为随机分析这门数学新分支的创立和发 展奠定了基础 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院18 概率论与随机过程概率论与随机过程 唐碧华唐碧华

15、bhtang 学时数学时数 48 教材教材 刘次华编刘次华编 随机过程随机过程 华中科技大学出版社第四版华中科技大学出版社第四版 参考书参考书 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 浙江大学或同济大学出版社浙江大学或同济大学出版社 2 随机过程及其应用随机过程及其应用 陆大琻陆大琻 清华大学出版社清华大学出版社 3 工程系统中的随机过程工程系统中的随机过程 陆传赉陆传赉 北京邮电大学出版社北京邮电大学出版社 4 5 超星数字浏览器超星数字浏览器 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院19 教学安排教学安排 先修课程先修课程 高等数学高等数学 线性代数线性代数 复变函数复变函数 初等初等 概

16、率论与随机过程概率论与随机过程 考核方式考核方式 平时成绩平时成绩40 期末考试期末考试60 电子讲稿电子讲稿 登陆登陆prof tang 密码密码 tang123456 考试时间考试时间 见研究生院发布的考表见研究生院发布的考表 电子邮件电子邮件 bhtang 上课时间上课时间 周三上午周三上午 晚上晚上 周五上午周五上午 内容相同内容相同 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院20 概率论与随机过程概率论与随机过程 知识从哪里来知识从哪里来 必然性必然性 偶然性偶然性 知识是什么知识是什么 概率论与随机过程概率论与随机过程 随机性随机性 变化过程变化过程 知识到哪里去知识到哪里去 如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题中的实际问题 2014 9 12北京邮电大学电子工程学院21 第一章第一章 概率论概率论 1 1 预备知识预备知识 集合论集合论 1 1 1集合的基本概念集合的基本概念 集合集合 元素元素 集合的表示法集合的表示法 子集子集 包含包含 集合集合 相等相等 真子集真子集 空集空集 幂集幂集 全集全集 1 1