253解直角三角形

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1、欢迎指导 天高任鸟飞 海阔凭鱼跃 听老师讲师讲 解直角三角形及大海里 航行的船哦 三边边之间间关系 锐锐角之间间关系 边边角之间间关系 以锐锐角A为为例 a2 b2 c2 勾股定理 A B 90 练习 在Rt ABC中 C 90 AC 12 AB 13 则有 根据勾股定理得 BC sinA cosA tanA cotA 5132 122 12 13 5 例1 如图所示 一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下 树顶落在离树根24米处 大 树在折断之前高多少 解 利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为 26 10 36 米 答 大树在折断之前高为36 米 例2 如图 在Rt AB

2、C中 C 90 解这个直角三角形 解 A BC 1 在直角三角形中 由已知元素求出未知元素 的过程 叫做解直角三形 3 在直角三角形中 如果已知两条边的长度 那么就可利用勾股定理求出另外的一条边 2 在解决实际问题时 应 先画图 再求解 概括 4 在直角三角形中 如果已知两条边的 长度 能否求出另外两个锐角 1 一个钢球沿坡角31 的斜坡向上滚动了5米 此时钢球距地面的 高度是 单位 米 A 5cos31 B 5sin31 B C 5tan31 D 5cot31 考题题再现现 B 310 5米 2 如图图 在Rt ABC中 CD 是斜边边AB上的中线线 已知CD 2 AC 3 则则 sinB

3、解 在Rt ABC中 CD是斜边AB上的中线 AB 2CD 4 sinB AC AB 3 4 A B C D 3 4 直角三角形斜边边 上的中线线等于斜 边边的一半 1 在直角三角形中 已知一条边 和一个锐角 可利用三角函数来求另外 的边 注意 2 解直角三角形过程中 常会遇 到近似计算 本书除特别说明外 边长 保留四个有效数字 角度精确到 例 虎门威远的东西两炮台A B相距2000米 同时发 现入侵敌舰C 炮台A测得敌舰C在它的南偏东40 的 方向 炮台B测得敌舰C在它的正南方 试求 1 敌舰C与炮台A的距离 2 敌舰C与炮台B的距离 精确到1米 练习 海船以32 6海里 时的速度向正北方向

4、航行 在A处 看灯塔Q在海船的北偏东30 处 半小时后航行到B处 发现此时灯塔Q与海船的距离最短 求 1 从A处到B处的距离 2 灯塔Q到B处的距离 画出图形后计算 精确到 0 1 海里 练习练习 1 一艘轮轮船由海平面上A地出发发向 南偏西400的方向行驶驶40海里到达B地 再由B地向北偏西200的方向行驶驶40海里 到达C地 则则A C两地的距离为为 北 A 北 B C 400 40海里 D 200 有一个角是600的三 角形是等边边三角形 练习练习 2 王英同学从A地沿北偏西60 方向走 100m到B地 再从B地向正南方向走200m到C 地 此时时王英同学离A地多少距离 A B C 北

5、南 西东 D E 600 100m 200m 练习练习 3 如图图 一艘海轮轮位于灯塔P的北偏东东65 方向 距离灯塔80海里的A处处 它沿正南方向航行一段时时 间间后 到达位于灯塔P的南偏东东34 方向上的B处处 这这 时时 海轮轮所在的B处处距离灯塔P有多远远 精确到 0 01海里 65 34 P B C A 80 答 货轮货轮 无触礁危险险 在Rt ADC中 tan DCA AD tan600 x x 在Rt ADB中 tan30 AD 12 1 732 20 784 20 解 过点A作AD BC于D A BDC N N1 30 60 例题赏题赏 析 24海里 X AD DC AD BD

6、 3 x X 12 X 24 设CD x 则BD X 24 如图图 海岛岛A四周20海里周围围内为为暗礁区 一艘货轮货轮 由东东向西 航行 在B处见岛处见岛 A在北偏西60 航行24海里到C 见岛见岛 A在北 偏西30 货轮继续货轮继续 向西航行 有无触礁的危险险 30 60 练习练习 海中有一个小岛岛A 它的周围围8海里范围围内有暗 礁 渔渔船跟踪鱼鱼群由西向东东航行 在B点测测得小岛岛A在 北偏东东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测这时测 得小 岛岛A在北偏东东30 方向上 如果渔渔船不改变变航线继续线继续 向 东东航行 有没有触礁的危险险 B A D F 60 12 30 1 解

7、直角三角形的关键键是找到与已知和未知相关联联 的直角三角形 当图图形中没有直角三角形时时 要通 过过作辅辅助线线构筑直角三角形 作某边边上的高是常用 的辅辅助线线 当问题问题 以一个实际问题实际问题 的形式给给出时时 要善于读读懂题题意 把实际问题实际问题 化归为归为 直角三角形 中的边边角关系 2 一些解直角三角形的问题问题 往往与其他知识联识联 系 所以在复习时习时 要形成知识结识结 构 要把解直角三角形作 为为一种工具 能在解决各种数学问题时问题时 合理运用 v学习永远是件快乐而有趣 的事 v多彩的数学世界及其解决 实际问题的魅力将把你引 入一个奇妙的境界 铅铅 直 线线 水平线线 视线

8、视线 视线视线 仰角 俯角 在进进行测测量时时 从下向上看 视线视线 与水平线线的 夹夹角叫做仰角 从上往下看 视线视线 与水平线线的 夹夹角叫做俯角 30 45 B O A 东西 北 南 方向角 例1 一位同学测河宽 如图 在河岸上一点A观测河对岸边 的一小树C 测得AC与河岸边的夹角为45 沿河岸边向前走 200米到达B点 又观测河对岸边的小树C 测得BC与河岸边 的夹角为30 问这位同学能否计算出河宽 若不能 请说明 理由 若能 请你计算出河宽 解 这位同学能计算出河宽 在Rt ACD中 设CD x 由 CAD 450 则CD AD x 在Rt BCD中 AB 200 则BD 200 X

9、 由 CBD 300 则tan300 即 解得 所以河宽为 练习 河的对岸有水塔AB 今在C处测得塔顶A的 仰角为30 前进 20米到D处 又测得塔顶A的仰角 为60 求塔高AB 示意图 30 60 解 动动 手手 做做 一一 做做 1 一架飞机以300角俯冲400米 则飞机的高度变化情况是 A 升高400米 B 下降400米 C 下降200米 D 下降 米 2 在山顶上D处有一铁塔 在塔 顶B处测得 地面上一点A的俯角 60o 在塔底D测得点A的俯角 45o 已知塔高BD 30米 则山高 CD 米 A B C D C 如图图 AB和CD是同一地面上的两座相距36米 的楼房 在楼AB的楼顶顶A

10、点测测得楼CD的楼顶顶C 的仰角为为450 楼底D的俯角为为300 求楼CD的 高 结结果保留根号 300 450A B C D36 例2 如图 直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处 此时飞机离地面的高度PO 450米 且A B O三点在一条直线上 测得大桥两端的俯角 分别为 30 45 求大桥的长AB 450米 合作与探究 解 由题意得 在Rt PAO与Rt PBO中 答 大桥的长AB为 P A B O 答案 米 合作与探究 变题 如图 直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处 且A B O三点在一条直线上 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30 和45 求飞机的高度PO A B O

11、30 45 400米 P 45 30 O B A 200米 合作与探究 例2 如图 直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30 和45 求飞机的高度PO L U D 答案 米 P 合作与探究 例2 如图 直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30 和45 求飞机的高度PO 45 30 P O B A 200米 C 合作与探究 45 30 P O B A 200米 C 例2 如图 直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30 和45 求飞机的高度PO 合作与探究 例2

12、 如图 直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30 和45 求飞机的高度PO 45 30 P O B A 200米 C 200米 P OB A 45 30 D 答案 米 合作与探究 变题2 如图 直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处 测得大楼的顶部仰角为45 测得大 楼底部俯角为30 求飞机与大楼之间的水平距 离 45 30 200米 P OB D 归纳归纳 与提高 45 30 P A 200米 C BO 45 30 450 60 45 200 200 45 30 A B O P ABO P 30 45 450 1 在山脚C处测处测 得山顶顶

13、A的仰角为为45 问问 题题如下 1 沿着水平地面向前300米到达D 点 在D点测测得山顶顶A的仰角为为600 求山高 AB D A B C 45 60 x A B C 2 在山脚C处测处测 得山顶顶A的仰角为为450 问题问题 如下 变变式 沿着坡角为为30 的斜坡前进进300米到达D 点 在D点测测得山顶顶A的仰角为为600 求山高AB 30 D E F x x 3 在山顶顶上处处D有一铁铁塔 在塔顶顶B处测处测 得地面上 一点A的俯角 60o 在塔底D测测得点A的俯角 45o 已知塔高BD 30米 求山高CD A B C D 思考 学校操场场上有一根旗杆 上面有一 根开旗用的绳绳子 绳绳

14、子足够长够长 王同学 拿了一把卷尺 并且向数学老师师借了一把 含300的三角板去度量旗杆的高度 1 若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 为600 如图用卷尺量得BC 4米 则 旗杆AB的高多少 2 若王同学分别别在点C 点D处处 将旗杆上绳绳子分别别拉成仰角为为600 300 如图图量出CD 8米 你能求出 旗杆AB的长吗长吗 3 此时时他的数学老师师来了一看 建议议王同学只准用卷尺去量 你能给给 王同学设计设计 方案完成任务吗务吗 A B 4m 600 A B D 8 m 300 60 0 本节课我们用解直角三角形的有关知识解决有关俯 角 仰角的实际问题 1 你怎么理解俯角 仰角 2 在分析处理这

15、类实际问题时 你应该采取怎样的步骤呢 3 除了以上知识你还有哪些收获 有哪些不解 谈谈你的看法 本节课你有什么收获 1 求直角三角形中未 知角 边时 先画出 示意图 尽可能直接 找出与已知角 边的 关系来求解 2 解决实际问题时 先将实物模型转化为几 何图形 如果示意图不 是直角三角形时 添加 适当的辅助线 画出直 角三角形来求解 谢谢大家 2 解决实际问题时 先将实物模型转化为几 何图形 如果示意图不 是直角三角形时 添加 适当的辅助线 画出直 角三角形来求解 1 求直角三角形中 未知角 边时 先画 出示意图 尽可能直 接找出与已知角 边 的关系来求解 谢谢大家 坡度问题问题 图 和 中 哪

16、个山坡比较陡 中的山坡比较较陡 观察 1 2 坡度是指斜坡上一点的铅垂高度 与水平宽度的比值 1 1 什么叫坡度 什么叫坡度 2 2 什么叫坡角 什么叫坡角 坡角是斜坡与水平线的夹角 3 3 坡角和坡度什么关系 坡角和坡度什么关系 i h l tan a i h l 显然 坡角越大 坡度越大 山坡越陡 B C A l h A B C 坡度通常写成1 的形式 如图一个斜坡 坡度为1 1 则这个坡角为 一斜坡的坡角为30度 则它的坡度 为 等腰梯形的较小底长为3 腰长为5 高为4 则另一个底长为 坡度为 基础练习基础练习 1 1 1 m 450 9 1 0 75 A B C A B C AB CD EF v 一物体沿坡度为1 8的山坡向上移动 米 则物体升高了 米 v 河堤的横断面如图所示 堤高BC是5米 迎水坡AB的长是13米 那么斜坡AB的坡度 是 A 1 3 B 1 2 6 C 1 2 4 D 1 2 B C A 基基础练习础练习础练习础练习 2 2 1 C k 8k A B C 例题1 如图 一铁路路基的横断面为等腰梯形 路基的顶宽 即 等腰梯形的上底长 为10m 路基的坡度i 1