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1、 高中数学解题思想方法 目 录前言 . 2第一章 高中数学解题基本方法 . 3一、 配方法 . 3 二、 换元法 . 7三、 待定系数法 . 14四、 定义法 . 19五、 数学归纳法 . 23六、 参数法 . 28七、 反证法 . 32八、 消去法 .九、 分析与综合法 .十、 特殊与一般法 .十一、 类比与归纳法 .十二、 观察与实验法 .第二章 高中数学常用的数学思想 . 35一、 数形结合思想 . 35二、 分类讨论思想 . 41三、 函数与方程思想 . 47四、 转化（化归）思想 . 54第三章 高考热点问题和解题策略 . 59一、 应用问题 . 59二、 探索性问题 . 65三、
2、选择题解答策略 . 71四、 填空题解答策略 . 77附录 .一、 高考数学试卷分析 .二、 两套高考模拟试卷 .三、 参考答案 . 前 言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
3、常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使
4、数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是能力。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数
5、学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中 高建彪0760-2298253第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成完全平方）的技
6、巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧，从而完成配方。有时也将其称为凑配法。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： ab(ab)2ab(ab)2ab； aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）； abcabbcca(ab)(bc)(ca) abc(abc)2(
7、abbcca)(abc)2(abbcca). 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1sin212sincos（sincos）； x(x)2(x)2 ；. 等等。 、再现性题组： 1. 在正项等比数列a中，a?a+2a?a+a?a=25，则 aa_。 2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k1 3. 已知sincos1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 0 4. 函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3) 5. 已知方程x+(
8、a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a_。 【简解】 1小题：利用等比数列性质aaa，将已知等式左边后配方（aa）易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3。 、示范性题组： 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D
9、. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24而得：。 长方体所求对角线长为：5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例2. 设方程xkx2=0的两实根为p、q，若()+()7成立，求实数k的取值范围。 【解】方程xkx2=0的两实根为p、q，由韦达定理
10、得：pqk，pq2 , ()+()7， 解得k或k 。 又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2或k2 综合起来，k的取值范围是：k 或者 k。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 例3. 设非零复数a、b满足aabb=0，求()() 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为()()10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab)ab 。则代入所求式即得。 【解】由aabb=0变形得：()()10 ， 设，则10，可知为1的立方虚根，所以：，1。 又由aabb=0变形得：(ab)ab ， 所以 ()()()()()()2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的
