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1、高一数学必修二圆与方程知识点整理一、标准方程1.求标准方程的方法关键是求出圆心和半径待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材例2利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解)条件 方程形式圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 与两坐标轴都相切 二、一般方程1.表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材例43.常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法:点到
2、圆心的距离与半径的大小关系点在圆内;点在圆上;点在圆外2.涉及最值:(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值 思考:过此点作最短的弦?(此弦垂直)四、直线与圆的位置关系1.判断方法(为圆心到直线的距离)(1)相离没有公共点(2)相切只有一个公共点(3)相交有两个公共点这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切(1)知识要点基本图形主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等问题:直线与圆相切意味着什么?圆心到直线的距离恰好等于半径(2)常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条;点在圆上一条;点在圆内无求切线方程的方法及
3、注意点i)点在圆外如定点,圆:,第一步:设切线方程第二步:通过,从而得到切线方程特别注意:以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上千万不要漏了!如:过点作圆的切线,求切线方程.答案:和ii)点在圆上1) 若点在圆上,则切线方程为会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.2) 若点在圆上,则切线方程为碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系,得出切线的条数.求切线长:利用基本图形,求切点坐标:利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交(1)求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公
4、式:(暂作了解,无需掌握)(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.(3)关于点的个数问题例:若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是_. 答案:4.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)五、对称问题1.若圆,关于直线,则实数的值为_.答案:3(注意:时,故舍去)变式:已知点是圆:上任意一点,点关于直线的对称点在圆上,则实数_.2.圆关于直线对称的曲线方程是_.变式:已知圆:与圆:关于直线对称,则直线的方程为_.3.圆关于点对称的曲线方程是_.4.已知直线:与圆:,问:是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点
5、?若存在,求出的值;若不存在,试说明理由.六、最值问题方法主要有三种:(1)数形结合;(2)代换;(3)参数方程1.已知实数,满足方程,求:(1)的最大值和最小值;看作斜率(2)的最小值;截距(线性规划)(3)的最大值和最小值.两点间的距离的平方2.已知中,点是内切圆上一点,求以,为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可!3.设为圆上的任一点,欲使不等式恒成立,则的取值范围是_. 答案:(数形结合和参数方程两种方法均可!)七、圆的参数方程,为参数,为参数八、相关应用1.若直线(,),始终平分圆的周长,则的取值范围是_.2.已知圆:,问:是否存在斜率为1的直线,使被
6、圆截得的弦为,以为直径的圆经过原点,若存在,写出直线的方程,若不存在,说明理由. 提示:或弦长公式. 答案:或3.已知圆:,点,设点是圆上的动点,求的最值及对应的点坐标.4.已知圆:,直线:()(1)证明:不论取什么值,直线与圆均有两个交点;(2)求其中弦长最短的直线方程.5.若直线与曲线恰有一个公共点,则的取值范围.6.已知圆与直线交于,两点,为坐标原点,问:是否存在实数,使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法:几何法(为圆心距)(1)外离 (2)外切(3)相交 (4)内切(5)内含2.两圆公共弦所在直线方程圆:,圆:,则为两相交圆公共弦方程.补充说明:若
7、与相切,则表示其中一条公切线方程;若与相离,则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆:和:交点的圆系方程为()说明:1)上述圆系不包括;2)当时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)(2)过直线与圆交点的圆系方程为(3)有关圆系的简单应用(4)两圆公切线的条数问题相内切时,有一条公切线;相外切时,有三条公切线;相交时,有两条公切线;相离时,有四条公切线十、轨迹方程(1)定义法(圆的定义):略(2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例:过圆外一点作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析:(3)相关点法(平移转换法):一点
8、随另一点的变动而变动 动点 主动点特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.例1.如图,已知定点,点是圆上的动点,的平分线交于,当点在圆上移动时,求动点的轨迹方程.分析:角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆:,点,、是圆上的两个动点,、呈逆时针方向排列,且,求的重心的轨迹方程.法1:,为定长且等于设,则取的中点为, (1),故由(1)得:法2:(参数法)设,由,则设,则,由得:参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量(即参数)表示,通过消参得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出,的范围.(4)求轨迹方程常用到得知识重心,中点,内角平分线定理:定比分点公式:,则,韦达定理.