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1、物理问题研究 运动磁场中的力与能量问题探讨 王维国 海安高级中学 江苏 海安 226600 摘 要 运用电动力学的规律 分析运动磁场中的电磁感应问题 探讨自由电子所受的洛伦兹力与涡旋电场 力在提供非静电力时的作用 总结了运动磁场中功能关系的特点 关键词 运动磁场 参考系 洛伦兹力 电场力 电能 电磁感应是中学物理的主干知识 其综合性 强 与运动学 动力学 能量 电场 电路和磁场等知 识的联系紧密 电磁感应对学生的能力要求较高 自 然就成为高考的必考内容 而且往往以压卷题的形 式出现 其中力与能量问题是考查的重点 导轨类的 电磁感应高考题中的磁场大多是静止的 但近年来 多次出现了磁场本身运动的问
2、题 如 2007年高考上 海卷第 23题 2007年高考重庆卷理科综合第 23题 和 2008年高考天津卷理科综合第 25题 其中上海卷 试题如下 题目 如图 1 a 所示 光滑的平行长直金属 导轨置于水平面内 间距为 L 导轨左端接有阻值为 R 的电阻 质量为 m 的导体棒垂直跨接在导轨上 导 轨和导体棒的电阻均不计 且接触良好 在导轨平面 上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场 磁 感应强度大小为 B 开始时 导体棒静止于磁场区域 的右端 当磁场以速度 u 匀速向右移动时 导体棒随 之开始运动 同时受到水平向左 大小为 f 的恒定阻 力 并很快达到恒定速度 此时导体棒仍处于磁场区 域内
3、图 1 1 求导体棒所达到的恒定速度 v 1 2 为使导体棒能随磁场运动 阻力最大不能 超过多少 3 导体棒以恒定速度运动时 单位时间内克 服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大 4 若 t 0时 磁场由静止开始水平向右做匀 加速直线运动 经过较短时间后 导体棒也做匀加速 直线运动 其 v t 关系如图 1 b 所示 已知在时刻 t 导体棒的瞬时速度大小为 v t 求导体棒做匀加速直 线运动时的加速度大小 1 问题的提出 在上题中 磁场向右运动 使回路中的磁通量 减小 从而产生感应电动势 与在静止的磁场里相 比 自由电子的受力情况有什么不同 电动势产生的 机理有什么不同 克服安培力做的功等
4、于产生的 电能 这个常用的结论还适用吗 有许多容易混淆 的问题需要辨析清楚 要弄清这些问题 必须从电磁 感应现象的微观机理入手 从带电粒子的受力入手 下面先辨析有关洛伦兹力的概念 然后讨论与运动 磁场相关的一些力和能量的问题 2 两种认为洛伦兹力能做功的错误认识 在中学物理中 把运动电荷所受的磁场力称为 洛伦兹力 其矢量式为 f q v B 一般只考虑电荷 的运动速度与磁场方向垂直的情况 所以 f q v B 洛伦兹力只改变电荷速度 v 的方向 而不改变其大 小 对运动电荷一定不做功 但一些学生因概念混 淆 对洛伦兹力不做功的结论不能信服 甚至提出了 反例 下面分析其中两种典型错误 75 20
5、11年第 1期 物理通报 物理问题研究 2 1 误认为安培力做功洛伦兹力就做功 安培力是磁场对通电导线的作用力 而导线中 的电流是由大量自由电子的定向移动形成的 因此 通常说安培力是洛伦兹力的宏观表现 洛伦兹力是 安培力的微观本质 如图 2所示 自由电子在洛伦兹力的作用下 形 成侧向运动 结果是使电子积累在导体的左侧形成 负电荷层 而导体的右侧形成正电荷层 于是在导体 内产生侧向的霍尔电场 自由电子所受的霍尔电场 的电场力与洛伦兹力方向相反 当两种力大小相等 时 自由电子便不再侧向漂移 而沿导线方向定向移 动 设导线长 L 截面积为 S 单位体积内的自由电子 数为 n 自由电子定向移动的速度为
6、 v 则导线所含 自由电子数为 N n S L 自由电子所受的洛伦兹力 f e v B N 个 自 由电 子 所受 洛 伦 兹力 的 合力 F S L n e v B 又据电流的微观表达式 I n e S v 得 F I L B 因此 当导线不动时 自由电子所受的洛伦 兹力的总和 即在宏观上表现为通电导线所受到的 安培力 图 2 当通电导线运动时 安培力会对导线做功 这能 否说明此时洛伦兹力也做了功呢 图 3 如图 3所示 导体棒在拉力作用下在水平导轨 上运动 回路中产生了逆时针方向的电流 设导体棒 中的自由电子一边以速度 v 1与棒一起向右作定向 移动 一边沿棒以速度 v 2定向移动 图 4
7、 与这两个 分运动相对应 自由电子所受洛伦兹力的两分力分 别为 f 1 e v1B 和 f2 e v2B 图 5 此时导体棒所受 的安培力 F I L B 又由电流的微观表达式 I n e S v 2 得 F n e S v 2L B n S L e v2B N e v2B 式中的 N 为导 体棒中自由电子总数 从此式可以看出 导体棒所受 的安培力等于自由电子所受的洛伦兹力在垂直于棒 方向的分力的总和 而不等于洛伦兹力的总和 而自 由电子所受的洛伦兹力在平行棒方向的分力的总和 是产生动生电动势的非静电力 F 非 N e v1B 动生电 动势等于将单位电荷在电源内部移动过程非静电力 做的功 即
8、W 非 e e v 1B L e B L v 1 这从另一个角 度推出动生电动势的表达式 图 4 图 5 在导体棒移动的情况下 微观看单个自由电子 所受洛伦兹力的平行棒方向的分力 f 1 e v1B 做正 功 f 1方向上的速度为 v2 其功率 P1 f1v2 e v1B v2 洛伦兹力的垂直于棒方向的分力 f 2 e v2B 做负功 f 2反方向上的速度为 v1 其功率 P2 f2v1 e v 2B v1 洛伦兹力的两分力做功功率的代数和为零 另一方面 单个自由电子所受的洛伦兹力方向仍然 与其定向移动的合速度方向垂直 洛伦兹力不做功 在导体棒移动的情况下 宏观看安培力对棒做 负功 安培力的功
9、率为 P 安 I L B v1 而非静电力做 功的功率 P 非 F非v2 N e v1B v2 n S L e v1B v2 又由 I n e S v 2 得 P非 I L B v1 因此棒中所有自由电子所 受洛伦兹力在宏观上的两个分量 安培力与非 静电力做功的和也为零 非静电力做的功等于回路 中产生的电能 而克服安培力做的功等于非静电力 做功 也等于回路中产生的电能 这个常用的结论在 恒定磁场静止的情况下是成立的 2 2 误认为在运动磁场中洛伦兹力能做功 曾有学生提出 在静止的磁场中洛伦兹力不做 功 但在运动磁场中洛伦兹力能做功 他提出一个模 图 6 型 认为能推翻洛伦兹力 一定不做功的结论
10、 如图 6所示 在以速 度 u 向右匀速运动的磁场 中 有一电子由静止释放 此时电子相对磁场向左运 动 受到大小为 e u B 方向向上的洛伦兹力作用 电 子在洛伦兹力作用下由静止开始运动 因此洛伦兹 76 2011年第 1期 物理通报 物理问题研究 力一定做功 要弄清这个问题的本质 必须用电动力学的相 关规律进行分析 由电动力学的基本方程式可知 带 点粒子在电磁场中运动时 所受的作用力 F q E q v B 这个公式被称为洛伦兹力公式 它包括两部分 一部 分是电场力 q E E 包括电荷激发的库仑电场和变化 磁场激发的涡旋电场 另一部分是磁场力 q v B 即中学阶段所认为的洛伦兹力 公式
11、中除 q 是 不变量外 F v E 和 B 都是相对量 是随参考系变化 的 v 是相对于观察者的速度 E 和 B 也是相对于观 察者而言的 在应用这个公式时 首先要明确在哪个 参考系中 在不同惯性参考系中 v E和 B 是不同 的 必须先变换 再代入公式 在该同学提出的问题 中 涉及到两个惯性参考系 一是地面参考系 记作 S 另一个是相对于 S 以速度 u 向右匀速运动的参 考系 S 在这个参考系中看 磁场是静止的 但不能 把它称为磁场参考系 因为在物理学中 场是不能作 参考系的 这是场与实物的重要区别之一 可以把它 看作是与产生磁场的通电螺线管固接的 以下提到 的参考系 S 和 S 均依此规
12、定 该同学认为在上述情 况下 电子相对磁场向左运动 公式中速度是电子相 对磁场的速度 因而受到的洛伦兹力大小为 e u B 但 事实上 理论和实验都已证明 洛伦兹力公式中的速 度是相对于观察者的 而不是相对于磁场的 洛伦兹 力公式中速度的参考系选取错误是这种错误认识的 根源 在参考系 S 中只有纯磁场 E 0 B 0 电子 向左运动的速度为 u 其受到电磁场的作用力为 F e u B 地面参考系 S 以速度 u 相对参考系 S 匀速运 动 则在参考系 S 中 不仅有磁场 还应当有电场 E 0 B 0 根据电磁场理论有 B B u c 2 E E u B 其中 为洛伦兹变换膨胀因子 1 1 u
13、2 c 2 在地面参考系 S 中 电子受到电磁场的作用力 为 F e E e v B 在上述问题中 电子相对地面参考系 S 的瞬时 速度为零 v 0 所以此时在地面参考系 S 中 电 子不受洛伦兹力 则 F e E e u B F 因为磁场移动的速度 u c 则 1 可以认为 F F 即在参考系 S 和参考系 S 中 电子受到电磁场的 作用力大小和方向是相同的 在参考系 S 中 电子以 大小为 u 的速度向左运动 受到的洛伦兹力大小为 e u B 在地面参考系 S 中 因磁场的匀速运动而产生 感生电场 电子相对地面参考系 S 的速度为零 虽 然不受洛伦兹力 但受到感生电场的电场力 q E 这
14、个力大小约等于参考系 S 中电子受的洛伦兹力 在 地面参考系 S 中 看似是 洛伦兹力做功 本质上 是感生电场对电子的电场力做了功 3 在运动磁场中的力与能量问题分析 在 2007年高考上海卷第 23题中 磁场以速度 u 向右匀速运动 在周围产生感生电场 因此导体中的 自由电子的受力情况与导体在静止的磁场中发生变 化 功能关系也出现了新特点 下面就这两个问题作 具体分析 3 1 运动磁场中的受力问题 当磁场以速度 u 向右匀速运动时 回路中的磁 通量减小 产生顺时针方向的感应电流 使导体棒在 安培力作用下向右加速 设某时刻棒的速度为 v 1 自 由电子沿棒以速度 v 2定向移动 在参考系 S
15、中看 棒中的自由电子一边以大小 为 u v 1的速度向左运动 一边沿棒以速度 v2定向 移动 与此相对应 自由电子受到洛伦兹力的两个分 量大小分别为 f x e v2B 和 fy e u v1 B 如图 7所 示 图 7 在地面参考系 S 中看 棒中的自由电子一边以 速度 v 1向右运动 一边沿棒以速度 v2定向移动 与 此相对应 自由电子受到洛伦兹力的两个分量大小 分别为 f x e v2B 和 fy 1 e v1B 另一方面 磁场向 右匀速运动 在周围会产生感生电场 感应电场的电 场强度 E u B 感生电场对自由电子的电 场力沿 y 方向 大小 f y 2 e E e u B 如图 8所
16、示 77 2011年第 1期 物理通报 物理问题研究 由此可以推断 在地面参考系 S 中 自由电子在 y 方 向受到的合力大小 f y fy 2 f y 1 e u v 1 B 因 为 u c 1 B B B 可认为 f x fx fy f y 即 F F 在两个参考系中自由电子受到的合力 大小几乎相同 图 8 3 2 运动磁场中的感应电动势的来源 在地面参考系 S 中 磁场匀速运动时 产生感 应电动势的非静电力由洛伦兹力沿棒的分量 f y 1 e v 1B 和感生电场的电场力 fy 2 e u B 共同提供 产 生的感应电动势中 既有动生电动势 又有感生电动 势 由电动势的定义得 W 非 e e u B e v 1B L e B L u B L v 1 其中的 B L u 是感生电动势 B L v 1是动生电动势 因 两者方向相反 总的感应电动势大小等于这两者的 差 在参考系 S 中 导体棒向左切割磁感线产生动生 电动势 B L u v 1 式中 u v1 为参考系 S 中 棒切割磁感线的速度 因为 B B B 所以 而在地面参考系 S 中 感应电动势 B L u B L v B L
