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1、.培优专题7 线段和角 线段和角是最简单、最基本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的基础 要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及基本性质，其次要注意总结规律，灵活运用 例1 如图，数出各条线上线段的总条数分析 要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏在（1）中，先数以A为左端点的线段：AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：CB，1条故（1）中共有3条线段同样地，在图（2）中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条共计3+2+1=6条在（3）中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；E
2、B共计4+3+2+1=10条从上面的分析可见，当线段上有n个点（包括两端点）时，它上面的线段总共有（n-1）+（n-2）+2+1=（条） 练习1 1在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、N两点之间共有线段_条（包括线段AN）2（1）数一数图中的图中共有_个角；图中共有_角；图中共有_角（2）从（1）中你找到一种数图中角的个数的规律吗？ 3如图，图中共有_条线段 例2 在图中，若线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和 分析 要求出所有线段长的总和，可采用分类计数的方法，分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，
3、按5类分别计算长度，如： L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6 =a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+a3+a4+a5） =5a1+4a2+3a3+2a4+a5 同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5， L3=3a3+2a4+a5 L4=2a4+a5 L5=a5 故所有线段的长度总和为： L=L1+L2+L3+L4+L5 =5a1+8a2+9a3+8a4+5a5 当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为： L=a1（n-1）1+a2（n-2）2+a3（n-3）3+an-22（n-2）+an-11（n-1） 练习2
4、1如图1，B、C、D依次是线段AE上的点，已知AE=8.9cm，BD=3cm，则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_ (1) (2) (3)2（1）如图2，3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在（ ）处最好（使得各机器人到零件箱的距离之和最小） AA1 BA2 CA3 DA1、A2之间或A2、A3之间的一点处（2）如图3，若有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好？ 3经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作（ ）条A0或1 B1或2 C0或2 D0或1或
5、2例3 如图，已知C在线段AB上，且AC：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=AC，E为AD的中点，若AB=40cm，求CE的长 分析 由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的长度，再由E为AD中点，可求出AE的长度，再由CE=AE-AC求出CE 解：设AC=2x，BC=3x，由题意得： 2x+3x=40，解得x=8 AC=16，BC=24，BD=AC=16 AD=AB+BD=40+16=56 E为AD中点， AE=AD=28CE=AE-AC=12（cm） 练习3 1三点A、B、C在同一直线上，若BC=2AB，且AB=a，则AC=_2如图，C、D、E将线段AB分成四部
6、分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21，则PQ长为_3（1）如图，已知AOB=90，BOC=30，OM平分BOC，求MON的度数；（2）如果（1）中AOB=，其他条件不变，求MON的度数；（3）如果（1）中，BOC=（为锐角），其它条件不变，求MON的度数（4）从（1）、（2）、（3）的结果中你可得出什么结论？（5）线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）（4）设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答 例4 如图，过点O任作7条直线求证：以O为顶点的角中必有一个小于26 分
7、析 过点O的7条直线被点O分成14条射线，而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26，只要考虑这14个角即可 证明：设相邻的射线组成的14个角为1、2、14， 则1+2+14=360 假设1+2+14都不小于26，则：1+2+14364 与1+2+14=360矛盾故1、214中必有一个角小于26 练习419点20分时，时针与分针所成的角是多少度？2如图是一个33的正方形，则图中1+2+3+9的度数是多少？3如图，A1OA11是一个平角，A3OA2-A2OA1=A4OA3-A3OA2=A5OA4-A4OA3=A11OA10-A10OA9=2，求A11OA10的度数 例
8、5 从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水（水从县城引出），县城与A村的距离为30千米，其余各村之间的距离如图7-14所示，现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供给所有各村用水，细管只能供一个村用水安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米2000元把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用 分析 显然粗细管适当搭配较合适，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍，故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用相同，需要用多于4根细管的路段采用粗管较合算由县城PABCDEF宜采用粗管，FG用粗管或细管均可，GH、GM、GN分
9、别安装一根细管总费用是：（30+5+2+4+2+3）8000+28000+22000+（2+2）2000+（2+2+5）2000=414000（元） 练习5 1如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（ ）A19 B20 C24 D262甲和乙两人同时从A、B两地相向而行（如图7-16），甲骑自行车，乙步行出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙
10、，此后两人继续前进，甲从A地在返回B地的路上在P3处与乙相遇求证：P1、P2、P3是AB的四等分点3（1）现有一个19的“模板”（如图），请你设计一种方法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1的角来？（2）现有一个17的“模板”，能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1的角来？（3）用一个21的“模板”与铅笔，能否在纸上画出一个1的角来？对于（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由答案:练习1128 =282（1）3；6；10；（2）330如线段BE上有6条线段，故共有65=30条线段练习2141.6cm 其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4（AB+DE）
11、+6（BC+CD）=4（AE-BC）+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6cm2（1）A2处，故选B （2）若选在B1、B2之间，设此点为M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；若选在B2、B3之间，设此点为M2，则其和为B1B4+B2B3；若选在B3、B4之间，设此点为M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，故选在B2、B3之间（包括（B2、B3处），其到机器人的距离和最短3选D若点P到L的距离d=5cm，则此点只有一个；若d5cm，不存在此点；若d5cm，则这样的点有两个，故选D练习31a或3a，若点B、C在点A的同侧，则AC=3a；若点B、C在点A的异侧，则AC
12、=a27设AC=2k，则CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，故PQ=73（1）MON=45，MON=AOC+BOC=AOB=45 （2）MON= （3）MON=45 （4）分析（1）、（2）、（3）的结果和解题过程可知：MON的大小总等于AOB的一半，而与锐角BOC的大小无关（5）如图7-1，B为线段AC上一点，AC=a，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长本题的规律是：MN=AC，而与BC的长度变化无关练习41160时钟从表面12处顺时针转过（930）=280，分针从表面12处顺时针转过（206）=120，故时针与分针形成的角为160
13、2405由图知：3=5=7=45，1+9=90，2+6=90，4+8=90，1+2+9=405327将条件中的9个等式相加，得：A11OA10-A2OA1=92，即A11OA10=A2OA1+18，又A1OA11=A2OA1+A3OA2+A11OA10=（A2OA1+A11OA10）10=180，两个方程联立解得A11OA10=27练习51考察每条通道的最大信息量，四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则（3+4）+（6+6）=19，选A2乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，所以甲的速度是乙速度的3倍再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3
