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1、 薛巳讲证明不等收的基本方法(一)引入思考一方法综合课堂练习峰鼻:课本P26习题2.2第L2、3题.鄙心讲证明不等义的境本方法(一)前面已经学习了一些证明不等式的方法,我们知道,关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式|x|不a和|么4的解集的规律等,都可以作为证明不等式的依据下面,我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法思考一,已知r，zz是正数，且羊痿y求证=3+胪Z/+/8一;Bjau是E数,日ox5,求证:“+历D+a尝试1:作差比较,作差一一变形一一定符号根据c一80习c08,欲证c只需证c一奶0.证明:.“(a+万)-(a25+452)=az(a-5)-
2、52(a一0)=(a:-D52)(a-5)=(a+D)(a-D)7“男a,5是正数,旦az0,(a-D)“0心(+历)-(a25p+a5p2)0,火43+所a25+aP2注:比较法是证明不等式的基本方法,也是最重要的方法,另外,有时还可作商比较(如课本第22页例3).白口口一。1:心一|怡3:娆试5冷旦知4是正数,且4x5,求证:4+历D+dPP2:转化尝试,就是不断寻找并筒化欲证不等式成立的充分条件,到一个明显或易证其成立的充分条件为止其逻辑关系是:B0,50,昆a丿上.“要证C+#4wD+吻,只要证(+DQC“-志+闪aMa+办,只要证q:-4a5+a,只要证q:-2a5+0-“a-5大0
3、,4(a-5)*0即q2-2a5+720得证.注:分析法的思维特点是:执果索因.对3明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证F思路不明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,(如课本第24页例3)变则通!数,昆a求证:个+仄D+aP晃尝试,就是由已知的不等式及题设条件出发产崔_联捏大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形,推导出要求证明的不等式.其逯辑关系是:4二B小日二二日,二户-证明:“a0,50,且a丿8-3十(/zzzz凸】Z73十Z7Z丿zZ72,心吊+adP2+阮十522025+24P2,心03+历a25+aP注:综合法的
4、思维特点是:执因索果、基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及徒的联愚往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想,浮愚联翩,思潮如涌。(如课本第23页例1、第24页例2)一识明一筹式的常用的方法有:比较法、综合法、分析法,它们各有其优点.解题有法,但无定法,具体运用时,应该对具体问题的特点作具体分析,选择合适的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个证明过程.思考二.(课本第25页例4)27122.222E4十c十cC.Q已知4,5,c0,求证:一一一一一一之4Dc.4十)十C探堂练习i1.已知a,5,x,ye瓜且一
5、，xy,求证:小_0文十Q。了十旦2.(课本第23页习题2-1第4题已知巍c是正数置证:z毋z潼Czr蓼r及+rz+rC+及3-(课本第22页例2)已知a,5,都是正数,并且a0,4十117求证:日十117菖-4.(课本第24页例2)已知人,0oy.o0,E尻,且锗锗靴二工求证:L+a)GL+).(L+4,)之2“5.(课本第26页习题2.2第9题)已知la|1,门|a-引督外练导.1.若实数x#1,求证:3Q+x2:+x4)(L+x+x2).2.非负实数xl、如,丁xlta如1,求证:yl-xm+y1l-x之Jl-x一x+13.已知a,5是不相等正数,且Q3一73二Q2一D2,求证d+凸0东
6、4大1,0一XGL+x+x2).证明:采用差值比较法:3QL+土X4)一+十X2)2=3+3X2十3x4一1一一一一2x一2X2一23=2(x一匕一一十工)=2(Cx一D2(Cx2+x+D)=2(x_1(xy工p32Cr-D“Cr+57+刃心文奂一一(一70，且(x+壹)z+熹0,茨X一1)z(X十量)z十熹0火30+xJGL+x+xP八.重.今非喷荬数xl、心,且xl+m不工求证:J1-xm+JL-x之Jl-m一x+1证明:.m0x0Qx+L1之0.1-m之0.1-x-之0要证门一十l一ib交L主一a+1,只要证(+JI5“三(-+D7即证:2-a+2y1-m-口+xba尹2-兄+2y1-一吴只要证,x之0x芸0成立,故原不等式也成立。
