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1、位移应变张量应变与位移的关系体积应变刚体转动应变分量的坐标转换主应变不变量应变张量的分解 第2章应变 1 u x y z rx Rxv x y z ry Ryw x y z rz Rz 位移 2 应变 考察物体内任意一微小线段长度的相对改变 正 线 应变方向的相对改变 剪 角 应变 3 应变张量 三个方向线元的应变决定该点的应变状态取与坐标轴相平行的三个方向 4 对称张量张量的剪切应变分量 实际的剪切应变 5 应变与位移的关系 几何方程 6 OA和OB两线元的长度分别为OA dx OB dy 设O点的位移是u x y 和v x y A点的位移是u x dx y v x dx y B点的位移是u
2、 x y dy v x y dy 7 根据定义 导出xy平面内的应变分量考虑小变形假定其他应变分量 8 几何方程张量表示位移梯度应变张量是位移梯度的对称化 9 体积应变 10 变形前的体积是V0 dxdydz变形后的体积是体积应变 1 x y z dxdydz x y z 11 刚体转动 A点位移是 u x y z v x y z w x y z B点位移是 u u x dx y dy z dz v v x dx y dy z dz w w x dx y dy z dz 12 Taylor级数将B点位移相对A点展开 13 矩阵表示 14 转动矢量 xex yey zez刚体转动 以 方向的直线
3、为转轴 且转角为 15 变形分解 1 随A点平动 AB A B 2 相对A点刚体转动 A B A B 3 纯变形 A B A B 16 应变分量的坐标变换 主应变 不变量 将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换 例如求主应变的特征方程 x l xym xzn 0 yxl y m yzn 0 zxl zym z n 0 17 应变张量的分解 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩 而没有形状畸变 偏应变张量对应的变形状态 只有形状畸变而没有体积改变 18 变形协调方程 问题根据几何方程去求位移分量 多组位移解表明物体发生裂缝或者相互嵌入 产生不连续 因此 6个应变分量不能任意给定 必须满足一定的协调关系 位移单值连续的必要条件 对单连通体 其充分条件是 19 必要性证明充分性证明 20 u单值的条件是积分与路径无关 即du为全微分 21 位移的导数A B C单值就要求 x y z必须单值 22 关于大变形 应变定义无限多种但应满足两个条件 1 物体只产生刚体位移是零 2 在小变形时 与小变形的应变定义一致 23 已知三个主方向 及三个主伸长 1 2 3 24
