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1、数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数3已知向量且互相垂直，则k（ ）AB1CD4已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 （ ）A B CD5已知椭圆: 的右顶点、上顶点分别为、，坐标原点到直线的距离为，且，则椭圆
2、的方程为（ ）ABCD6曲线在点处的切线方程是（ ）ABCD7将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数 的平均分为91现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）A B C D8在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查于开学进行交流报告会四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻
3、的概率为（ ）ABCD9定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 （ ）ABCD10方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）A BC D11如图正方体的棱长为a，以下结论不正确的是（）A异面直线与所成的角为 B直线与垂直C直线与平行 D三棱锥的体积为12已知是定义在区间内的单调函数，且对任意，都有，设为的导函数，则函数的零点个数为（ ）A0B1C2D3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把正确答案填写在答题卡上）13某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为_.14 某公司三个分厂的职工情况为：第一
4、分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为_15已知四面体，则_16、设是双曲线:的右焦点，是左支上的点，已知，则周长的最小值是_三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知集合，集合.（）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18河南省某市公安局交警支队依据中华人民共和国道路交通安全法第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人
5、过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份违章驾驶员人数（）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数参考公式：，19 某工厂生产的产品的直径均位于区间内（单位：).若生产一件产品的直径位于区间内该厂可获利分别为10，30，20，10(单位：元），现从该厂生产的产品中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计该厂生产一件产品的平均利润；（2）现用分层抽样法从直径位于区间内的产品中随机抽取一个容
6、量为5的样本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间内的概率.20如图三棱柱中，侧面为菱形，.（）证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值.21已知椭圆：（）的离心率为，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.22已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由数学答案1、【答案】C【解析】，复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限故选：C2、【答案】B【解析】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理
7、数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”3、【答案】A【解析】因为互相垂直，所以，选A.4、【答案】A【解析】因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A5、【答案】D【解析】椭圆右顶点坐标为，上顶点坐标为，故直线的方程为，即，依题意原点到直线的距离为，且，由此解得，故椭圆的方程为，故选D.6、【答案】B【解析】，当时，所以切线方程是，整理为，故选B.7、【答案】C【解析】去掉最低分87，若x3，则90+x被去掉，此时剩余的分数为90,90,91,93，平均数为91，满足条件，此时的方差为.故选：C。8、【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“
8、网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为，则四个小组随机排序的所有情况有：，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，由古典概型的概率公式得所求概率为故选：D9、【答案】A【解析】设，则, , , 又，所以, 在定义域上单调递增, 对于不等式可转化成，, 又，, , 而在定义域上单调递增, ，故选：A.10、【答案】A【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，选择A.11、【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系AA1（a，0，a），D（0
9、，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）（a，0，a），（0，a，a），异面直线A1D与AB1所成的角为60BC1（0，a，a），B（a，a，0）（a，0，a）（a，0，a）a2a20直线A1D与BC1垂直CD1（0，0，a）（a，0，a）（a，a，a）a2a20，直线A1D与BD1垂直，不平行；D三棱锥AA1CD的体积综上可知：只有C不正确故选：C12、【答案】B【解析】对任意的x（0，+），都有ff（x）lnxe+1，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）lnx为定值，设tf（x）lnx，则f（x）lnx+t，又由f（t）e+1，即lnt+te+1，解得：te，则f
10、（x）lnx+e，f（x）0，故g（x）lnx+e，则g（x）+0，故g（x）在（0，+）递增，而g（1）e10，g（）10，存在x0（，1），使得g（x0）0，故函数g（x）有且只有1个零点，故选：B13、【答案】30【解析】设高一、高二、高三年级的学生人数分别为，因为成等差数列，所以，所以，所以应从高二年级抽取30人.故答案为：30.14、【答案】【解析】第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人记事件A为该职工为女职工或为第三分厂职工，由概率公式得：，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为，故答案
11、为：15、【答案】5【解析】四面体，.故答案为：5。16、【答案】【解析】设左焦点为，根据双曲线的定义可知，所以三角形的周长为，当三点共线时，取得最小值，三角形的周长取得最小值. ，故三角形周长的最小值为.17、【解析】，（）依题意， 或 或（）依题意， 即 .18、【解析】（）由表中数据，计算；，所以与之间的回归直线方程为；（）时，预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人19、【解析】（1）由频率分布直方图得，所以，直径位于区间的频数为，位于区间的频数为，位于区间的频数为，位于区间的频数为，生产一件 产品的平均利润为（元）.（2）由频率分布直方图得：直径位于区间和的频率之比为，应从
12、直径位于区间的产品中抽取件产品，记为，从直径位于区间的产品中抽取件产品，记为，从中随机抽取两件，所有可能的取法有共种，两件产品中至多有一件产品的直径位于区间内的取法有种.所求概率为.20、【解析】（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，所以平面由于平面，故又，故 （2）因为，且为的中点，所以又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系因为，所以为等边三角形，又，则，设是平面的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，所以二面角的余弦值为 21、【解析】（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，所以.综上，为定值.22、【解析】（1）当时，所以令，则或，令，则，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为。（2）存在，满足题设，因为函数所以要使函数在上单调递增，即，令，则，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，且，在上的最大值为所以存在，满足题设
