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1、随机运筹学 之6随机库存论 壹 库存论 一 库存库存是为了满足未来需求而暂时闲置的有价值的资源 其含义有两点 一是资源 凡是人 财 物 信息等有形的实物和无形的物质都可以作为资源的范畴 如汽车 电视机 服装 电影 民航座位 医疗 咨询等 二是有价值的资源 有些资源可以满足未来的需求 但不一定具有价值 如空气 阳光等 可以随时随地获得 但在获取时并不需 要付出代价 无论是生产领域还是流通领域 库存是普遍存在的 从宏观上来看 一个国家全国范围内的生产出来的产品 平均将有2 3个月的库存期 库存大部分在生产领域和流通领域 约占总库存的90 左右 二 库存的类型对于一个生产企业来讲 库存主要有以下类型
2、 1 原材料库存 未经加工被直接用于生产产品的材料的库存 其主要作为投入使用 如钢材 木板 染料等的库存 2 零部件库存已经过一定的加工被直接用于生产产品的材料的库存 其主要作为组成部件 如发动机 CPU 电机等的库存 3 在制品库存在完成最终加工之前的物品的库存 4 成品库存 已完成最终加工的物品的库存 5 备件 工具 设备等的库存用来生产产品的物品的库存 对于一个流通企业来讲 产品要经过流通加工 库存主要有以下类型 1 流通加工前产品库存从生产厂家购进的成品 但还未进行流通加工的产品的库存 2 流通加工后产品库存 已进行了流通加工的产品的库存 三 库存的作用1 获取规模效益由于生产能力设计
3、等原因 一定规模的生产才会使单位成本最低 因而库存可以获取规模效益 2 应对不确定性因素市场需求的不确定 供应商交货不确定 产品质量的不确定都需要库存来应对 以免导致需求的损失 3 平稳生产过程在需求高峰时期突击性地扩大生产能力是不现实的 需要通过库存来满足高峰时的需求 4 投机行为在产品价格发生变化时 可以通过库存来获利或避免损失 5 最低采购量供应商往往对采购方具有最低采购量的限制 当需求不足时 只能通过库存来慢慢消耗 四 库存管理的任务 一 库存的系统分析最简单的库存系统至少由补货环节 仓储环节 市场环节所组成 如果以仓储环节为中心 补货环节可以是上游供应商 也可以是本企业内部的前置车间
4、或工序 市场环节可以是终端顾客 也可以是下游企业 还可以是本企业内部的后续车间或工序 库存管理的对象是对整个库存系统进行管理 补 库存系统 仓储环节 补货环节 市场环节 物流方向 货环节不断地将货物补充到仓储环节 货物在仓储环节被暂时储存后 再被送往市场环节 补货活动具有一定的主动性 依管理者的决策而定 而向市场的出货则一般是被动的活动 每当市场产生需求时才实施出货活动 补货活动会带来成本 货物在仓储环节的储存也会带来成本 出货活动同样带来成本 二 影响库存系统成本的主要因素1 货物补充的批量 对于补货活动 成本主要受补货批量的影响 一般地 补货批量越大 规模效益可使边际成本下降得越多 2 货
5、物补充的时机对于出货活动 它与市场相关联 一方面 通过实施出货活动直接获得收益 另一方面 如果市场产生了需求而因补货不能及时满足需求时 不仅不能获得收益 而且还可能会招致惩罚成本 缺货成本主要受补货时机的影响 如果迟迟不补货 致使货源紧缺 则缺货惩罚成本就会升高 补物时机可以通过查看库存量来确定 比如当库存量降低到某一值时就进行货物补充 货物补充时机将直接影响到对客户的服务水平 如果补货时机对应的库存量越高 则对客户的服务水平也就越高 缺货的惩罚成本就会越低 关于货物在仓储环节的储存所造成的成本 补货时机和补货批量都会产生影响 库存量越高 对应的成本也就越高 因此 补货时机对应的库存量越高 或
6、补货批量越大 成本也就越高 三 库存管理的主要任务库存管理的目标就是通过补货时机和补货批量来控制库存系统的运行成本 库存管理的主要任务就是确定最优的补货时机和最优的补货批量 使库存系统的运行成本 包括客户服务水平 达到最小 五 库存管理与仓储管理的区别仓储管理主要涉及库房的规划与设计 货架的设置 分拣的原理 进出货的规划 物料的搬运方 式等 库存管理属于上层决策的范畴 而仓储管理则属于底层操作的范畴 贰 随机型存储模型概述 一 库存系统的分类一个库存系统包含许多参数 比如市场需求 补货单价 持货成本系数 缺货惩罚成本系数 补货启动费用 补货提前期等 如果在库存系统运行过程中 这些参数都是确定的
7、 则这个库存系统是确定性的库存系统 在许多实际库存系统中 有一些参数可能是不确定的 例如 最常见的是需求的不确定性 当这些参数属于系统内部参数 在一定程度上还可以 控制 但市场往往是难以控制的 充其量只能施加一定的影响而已 在库存系统中 通常用随机变量来刻画市场需求的不确定性 随机变量的分布可以是离散形式 如泊松分布等 也可以是连续形式 如正态分布等 库存系统中只要有一个参数是随机变量 则整个系统就变成了随机模型 对随机模型而言 确定其评价准则是解决问题的关键 二 随机型存储模型的特点 随机型存储模型的主要特点是需求是随机的 其概率和分布是已知的 例如 一个商场对某种商品每天的销售量就是随机的
8、 1000件商品可能在一个月内售完 也可能下个月之后还有剩余 随机型存储模型的还有一个重要特点是 是否允许缺货 一般都可使用概率来表达 例如 如果要求的保证概率为90 那么缺货的概率就是10 即10次订货允许缺货一次 三 随机型存储模型的类型1 单周期随机存储模型所谓单周期随机存储模型是指在一个周期内只订货一次 周期末库存货物与下一个周期的订货量没有关系 在各周期之间的订货量和销售量是相互独立的 典型的单周期随机存储模型是 报童问题 因为报纸当天若卖不出去 第二天就过时而丧失了新闻价值 单周期随机存储模型将一个存储周期作为时间最 小单位 而在周期开始时作一次决策 确定订货量 单周期随机存储模型
9、又根据需求量是离散的或连续的分为随机离散型和随机连续型 2 多周期随机存储模型多周期随机存储模型是指订货机会周期地出现 即在一个阶段开始时存储量为I 订货量为Q 若供应不足 则I便承担缺货 若供应有余 则将多余部分存储起来 存储量达到I Q 四 随机存储模型的订货策略1 定期订货策略定期订货策略是指确定一个固定的订货周期 每个周期都只根据上一周期末剩余的存储量来确定当期的订货量 即剩下的存储量小就多订货 剩下的存储量大就少订货 甚至可以不订货 定期订货策略下订货时间固定 而每次订货的数量是不确定的 2 定点订货策略 定点订货策略是指确定一个固定的订货点 每当库存下降到订货点时就组织订货 定点订
10、货策略下每次订货数量确定 而订货时间是不确定的 因此 要保证按订货点订货 要求必须对库存进行连续的监控或记录 3 定期与定点相结合的策略定期与定点相结合的策略是指每隔一定时间对库存检查一次 如果库存数量大于订货点s 就不订货 如果库存数量小于订货点s 就组织订货 并使得补充后的存储数量达到S 因此 这种策略也 简称为 s S 策略 叁 随机库存的服务水平 一 随机库存系统的评价准则对随机库存系统 最常见的评价准则有概率准则 期望值准则 方差准则等 在库存系统中 通常用成本或收益作为系统的绩效指标 而评价准则多采用期望值准则 确定补货时机和补货批量 使系统成本的期望值达到最小 或使系统收益的期望
11、值达到最大等 肆 单周期随机型存储模型 一 一次性订货的离散型随机存储模型例1某商场拟在新年期间出售一批新年贺卡 每售出1千张可盈利7元 如果在新年期间不能售完 就必须削价处理 则1千张亏损4元 定能售完 根据以往的经验 市场需求的概率为下表 问 每年只能订货一次 问订购贺卡几千张才能使获利最大或损失最小 1 计算盈利期望值最大的方法2 计算损失期望值最小的方法 市场需求的概率信息 盈利期望值最大方法 一般地 模型假设 Q 订货量 r 随机需求变量 P r 需求为r的概率 k 单位收益 h 单位损失 1 计算盈利期望值最大的模型可设出贺卡数量为r 千张 其概率为P r 为已知 r 0 P r
12、1 订货数量为Q 1 当供过于求 r Q 时 只能销售出r千张贺卡 每千张赚k元 共赚k r元 没有销售出去的贺卡 每千张赔h元 则滞销损失为h Q r 元 因此 盈利的期望值为 r 0 Q k r h Q r P r 2 当供不应求 r Q 时 因为只有Q千张贺卡可供出售 共赚k Q元 无滞销损失 因此 盈利期望值为 r Q 1 k Q P r 因而 当订货量为Q时 其盈利的期望值为 R Q r 0 Q k r h Q r P r r Q 1 k Q P r 在r为离散变量的情况下 要使订货量Q时的盈利期望值最大 则应满足下列关系式 R Q 1 R Q R Q 1 R Q 由条件 可推得 r
13、 0 QP r k k h 由条件 可推得 r 0 Q 1P r k k h 因此 最佳订货量Q应按下式确定 r 0 Q 1P r k k h r 0 QP r 2 计算损失期望值最小的模型 当供过于求 r Q 时 因为不能销售出去而承担损失 因此 损失的期望值为 r 0 Q h Q r P r 当供不应求 r Q 时 因为缺货而失去赚钱的机会 因此 损失的期望值为 r Q 1 k r Q P r 因而 损失的期望值为C Q r 0 Q h Q r P r r Q 1 k r Q P r 同样地 其损失的期望值应满足 C Q C Q 1 C Q C Q 1 由条件 可推得 r 0 QP r k
14、 k h 由条件 可推得 r 0 Q 1P r k k h 因而 综合条件 和 有最佳订货量条件为 r 0 Q 1P r k k h r 0 QP r 与盈利期望值最大模型结论完全一致 例2已知某地有一天将有许多人聚集 盒饭的需求量是一个离散型随机变量 若卖出一盒 将获利1元 若不能卖出一盒 损失0 2元 问应订购多少盒才能使获利最大 例3新华书店拟订购一批挂历在元旦期间出售 每出售一本可获利8元 在元旦前不能出售 每出售一本损失12元 根据以往的经验 市场需求服从 1000泊松分布 问应订购多少本挂历才能获利最大 例4某运动时装店在春季准备销售一种新服装 估计销售情况如表 已知进价为180元
15、 套 销售价为300元 套 在春季末销售为120元 套 问该店进货多少套为宜 服装需求状况 货物需求状况 例6设某货物的需求量在17件至26件之间 已知需求量的分布概率如表 并且其成本价为每件5元 售价为每件10元 处理价为2元 问进货多少时才能使总利润的期望值最大 二 一次性订货的连续型随机存储模型假定订货单位成本为k元 售价为p元 单位存储费为c1元 需求量r是连续的随机变量 密度函数为f r 其分布函数为F a 0af r dr a 0 c2为一次订货费 1 当订货量为Q时 实际的销售量只能是min r Q 2 当r Q时 发生缺货损失 当r Q时 发生存储费用 因此 需要支付的存储费为
16、 Cs Q c1 Q r 当r Q时0当r Q时因此 一次订货的盈利为 R Q p min r Q c2 kQ Cs Q 其中 期望销售收入为E p min r Q p 0Qrf r dr p Q Qf r dr而期望费用为c1 0Q Q r f r dr c2 kQ 总之 期望利润E R Q 为E R Q p 0Qrf r dr p Q Qf r dr c1 0Q Q r f r dr c2 kQ p 0 rf r dr p Q rf r dr p Q Qf r dr c1 0Q Q r f r dr c2 kQ pE r p Q r Q f r dr c1 0Q Q r f r dr c2 kQ 令E C Q p Q r Q f r dr c1 0Q Q r f r dr c2 kQ 由于利润的最大化等价于成本的最小化 因而由极值原理有 dE C Q dQ c1 0Qf r dr p Q f r dr k在dE C Q dQ 0时 令F Q 0Qf r dr 有 c1F Q p 1 F Q k 0 即F Q p k c1 p 再由该式解出Q 即为E C Q 的最小值点 讨论 1 当
