《毕业论文矩阵特征值与特征向量若干应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文矩阵特征值与特征向量若干应用（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 矩矩阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量的的若若干干应应用用 Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix 专 业 数学与应用数学 作 者 指导老师 学校 二 一一 摘摘 要要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论 在此理论基础上做了一定的推 广 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应 用 关键词 特征值 特征向量 矩阵 递推关系 Abstract This article describes some theories of eigenvalues and ei
2、genvectors of the matrix based on these theories we do some promotions and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature Keywords eigenvalue eigenvector matrix recursion relations 目 录 摘 要 I ABSTRACT II 0 引言 1 1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 1 2 矩
3、阵特征值与特征向量的几个应用 5 2 1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 5 2 1 1 命题的证明 5 2 1 2 命题的应用 7 2 2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 7 2 2 1 命题的证明 7 2 2 2 命题的应用 9 2 3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 11 2 3 1 特征值与特征向量的基本性质 11 2 3 2 性质的应用 12 3 小结 15 参考文献 16 0 引言 为了利用矩阵研究线性变换 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩 阵具有最简单的形式 因此我们引进了特征值与特征向量 特征值与特征向量在线性 变换中起着举足轻重的作用 充分利用
4、特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带 来极大的帮助 能使复杂的问题变的简单 化简为易 化繁为简 本文就矩阵的特征 值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨 见参考文献 1 2 4 1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 我们知道 在有限维线性空间中 取了一组基之后 线性变换就可以用矩阵来表 示 为了利用矩阵来研究线性变换 对于每个给定的线性变换 我们希望能找到一组 基使得它的矩阵具有最简单的形式 从现在开始 我们主要的来讨论 在适当的选择 基之后 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式 为了这个目的 先介绍特 征值和特征向量的概念 它们对于线性变化的研究具有基本的重要性 定义 1
5、 1 设是数域上的一个阶方阵 若存在一个数以及一个非零维APnP n 列向量 使得 n xP Axx 则称是矩阵的一个特征值 向量称为矩阵关于特征值的特征向量 AxA 现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法 设是数域上维线性空间 VPn 是它们的一组基 线性变换就是在这组基下的矩阵是 设是特征值 12 n AA 0 它的一个特征向量在下的坐标是 则由 这说明特 12 n n xxx 00201 Axx 征向量的坐标满足齐次次方程组 01020 n xxx 02211 202222121 101212111 nnnnnn nn nn xxaxaxa xxaxaxa xxaxaxa 即 1 1 0
6、 0 0 02211 22220121 12121110 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 由于 所以它的坐标不全为零 即齐次线性方程组有非零解 0 n xxx 00201 从而 齐次线性方程组 1 1 式 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零 即 0 021 222021 112110 0 nnnn n n aaa aaa aaa AE 我们引入以下定义 定义 1 2 设是数域上一级矩阵 是一个文字 矩阵的行列式APn AE nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 称为的特征多项式 这是数域上的一个次多项式 AP 上
7、面的分析说明 如果是线性变换的特征值 那么一定是矩阵的特征多 0 A 0 A 项式的一个根 反过来 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根 即 0 AP 那么齐次线性方程组 1 1 式就有非零解 这时 如果 0 0EA 是方程组 1 1 式的一个非零解 那么非零解向量 01020 n xxx 01 10220nn xxx 满足 1 1 式 即是线性变换的一个特征值 就是属于特征值的一个特征 0 A 0 向量 因此 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步 A 1 在线性空间中取一组基 写出在这组基下的矩阵 V 12 n AA 2 求出的特征多项式在数域中全部的根 它们也就是线性
8、变换的AEA P A 全部特征值 3 把所有得的特征值逐个代入方程组 1 1 式 对于每一个特征值 解方程组 1 1 式 求出一组基础解系 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量 在基下的坐标 这样 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特 12 n 征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值 而相应的线性方程组 1 1 式AA 的解也就称为的属于这个特征值的特征向量 A 例 1 设线性变换在基 下的矩阵是 A 1 2 3 122 212 221 A 求的特征值与特征向量 A 解 因为特征多项式为 2 122 21215 221 EA 所以特征值 1 二重 和 5 把特征值
9、1 代入齐次方程组 123 123 123 1220 2120 221 20 xxx xxx xxx 得到 123 123 123 2220 2220 2220 xxx xxx xxx 它的基础解系是 1 0 1 0 1 1 因此 属于 1 的两个线性无关的特征向量就是 113 223 而属于 1 的全部特征向量就是 取遍数域中不全为零的全部数对 1122 kk 1 k 2 kP 再用特征值 5 代入 得到 123 123 123 4220 2420 2240 xxx xxx xxx 它的基础解系是 1 1 1 因此 属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 3123 而属于 5 的全部特征向量
10、就是 是数域中任意不等于零的数 3 kkP 例 2 在空间中 线性变换 n P x xfxf 在基下的矩阵是 21 1 2 1 n xx x n 0000 1000 0100 0010 D 的特征多项式是D 000 1000 010 001 n DE 因此的特征值只有 0 通过解相应的齐次线性方程组知道 属于特征值 0 的线性无D 关的特征向量组只能是任一非零常数 这表明微商为零的多项式只能是零或非零常 数 见参考文献 1 2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 2 1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 已知矩阵的特征值与特征向量确定 3 阶对称矩阵的公式 设 3 阶对称矩阵的特征值为 且
11、对应的特征向量为 则A 123 1 p 32 21 Epp pp A T T 本文给出推广到阶对称矩阵的一类计算公式 n 2 1 1 命题的证明 命题 1 设阶对称矩阵的特征值为其中nA k 21 对应的特征向量为 则可取kn i j kji 2 1 i i p 1 2 1ik nk k i T ii i T i ki Epp pp A 1 1 且为的重特征值 A1nk 证明 不妨设 nk k i T ii i T i ki Epp pp B 1 1 1 1 k i T ii i T i ki pp pp C 12 1 2 1 T ik iiiini T ii paaamik p p 因为两两
12、正交 121 k p pp 1 1 k T ik jiijknjjkjkjjj T i ii Bpp p pE pppp p p 所以为的特征向量 为的对应于的特征向量 且 j B j pB j 1 2 1jk 因为 1 1 k T ik knii T i ii BEp pC p p 1212 T ik iiiiiiiniiiiiiiini T ii p pm p aaama p ma pma p p p 1 1 1 1 1 1 21 1 1 k i k i k i iiniiiiiii k i T ii i T i ki pampampampp pp C 即矩阵的列向量组可由向量组线性表示
13、故矩阵的秩C 121 k p pp C nkCR 10 nkE BC 所以为的特征值 k B 又可证为的重特征值 设 即 k B1nk 1 1 1 2 k iijij i ma pajn 111222111 1121222211212 1111221211111 knkknnn kkk kkk pampampama pampampama pampampama nkkk n n k kn aaa aaa aaa m m m pppaaa 11211 22221 11211 1 2 1 12121 因为 秩 故 01 2 1 i mik 121 1 k R p ppk 1 21 kaaaR n 不
14、妨设是向量组的极大线性无关组 则有 121 k a aa 12 n a aa 11 2211 kkjjjj abababa nkkj 1 若 则有 12 nn Ee ee 111 1122 111 1122 kkk niiikiiikiinikn iii kknkn BEma pema pema pe ae aeae 做第三种初等变换将第 j 列化为 jkj ae 1122 11 1 12 2 11 1 jkjkj kkkkj kjjj kkj bebebee b eb ebeejk kn 令 1 2 1 ikii aeik 1 12 2 11 1 jjj kkjj b eb ebeejk k
15、n nkkk kn k nknkkn eaeaeaEB 1121 1 2211 而行列式是的最高次幂为的多项式 为 1211 kkkn 1k 121 k 的特征值 B 1 1 1 k n k nki i BE 综上可知命题成立 参考文献 2 4 2 1 2 命题的应用 例 3 设 3 阶对称矩阵的特征值 对应于的 的特征向1 1 1 2 0 3 1 2 量依次为 求矩阵 TT pp2 1 2 2 2 1 21 A 解 由公式 3322 22 32 11 11 31 Epp pp pp pp A T T T T 022 210 201 3 1 例 4 设 3 阶对称矩阵的特征值 对应于的特征向量
16、为A6 1 3 32 1 求矩阵 1 1 1 1 T p A 解 由公式 411 141 114 3211 11 21 Epp pp A T T 综上 运用该命题根据已知条件 可简捷快速地求出矩阵 给我们带来极大的方便 2 2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论 见参考文献 14 15 2 2 1 命题的证明 命题 2 设阶线性循环数列 满足递推关系k n x knknnn xaxaxax 2211 2 1 kkn 其线性方程组为 11 22 11 2211 knkn nn nn knknnn xx xx xx xaxaxax 可表为矩阵形式 kn n n nkk kn n n n x x x xaaaa x x x x 3 2 1121 1 2 1 0100 0010 0001 2 1 令 kn n n n kn x x x x a 3 2 1 0100 0010 0001 121 kk aaaa A 则 2 1 式可写成 1n kn k aAa 2 2 由 2 2 式递推得 11 2 1 aAaAa kn knkn 其中 于是求通项
