《2017-2018高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明（2）新人教A选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明（2）新人教A选修1-2（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 推理与证明 2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 自主预习学案 夏天 在日本东京的新宿区的一幢公寓内 发生了一宗凶杀案 时间大约是下午4时左右 警方经过三天的深入调查后 终于拘捕到一个与案件有关的疑犯 但是他向警方作出不在现场证明时 他说 警察先生 事发当天 我一个人在箱根游玩 直至下午4时左右 我到芦之湖划船 当时适值雨后天晴 我看到富士山旁西面的天空上 横挂着一条美丽的彩虹 所以凶手是别人 不是我 你知道嫌犯的话露出了什么破绽吗 警方是怎样证明他在说谎的呢 1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反
2、证法 反证法是间接证明的一种基本方法 矛盾 错误 成立 2 反证法证题的原理 1 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 2 用反证法解题的实质就是否定结论 导出矛盾 从而说明原结论正确 3 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾 或与 事实矛盾等 已知条件 假设 定义 公理 定理 4 反证法的适用对象作为一种间接证明方法 反证法尤其适合证明以下几类数学问题 1 直接证明需分多种情况的 2 结论本身是以否定形式出现的一类命题 否定性命题 3 关于唯一性 存在性的命题 4 以 至多 至少 等形式出现的命题 5 条件与结论联系不够明显 直接由条件推
3、结论的线索不够清晰 的反面是比原结论更具体 更容易研究的命题 结论 结论 C C D 假设a 1或b 1 互动探究学案 命题方向1 用反证法证明否 肯 定性命题 规律方法 1 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证题时 必须把结论的否定作为条件使用 否则就不是反证法 有时在证明命题 若p 则q 的过程中 虽然否定了结论q 但是在证明过程中没有把 q 当作条件使用 也推出了矛盾或证得了结论 那么这种证明过程不是反证法 规律方法 本题已知条件为p q的三次幂 而结论中只有p q的一次幂 若直接证明 应
4、考虑到用立方根 同时用放缩法 但很难证 故考虑采用反证法 命题方向2 用反证法证明 至多 至少 类命题 规律方法 1 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 2 用反证法证题 必须准确写出命题的否定 把命题所包含的所有可能情形找全 范围既不缩小 也不扩大 常用反设词如下 命题方向3 用反证法证明存在性 唯一性命题 规律方法 1 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以宜用反证法证明 2 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒
5、 才能推断结论成立 解析 a b 过a b有一个平面 又m a A m b B A a B b A B 又A m B m m 即过a b m有一个平面 假设过a b m还有一个平面 异于平面 则a b a b 这与a b 过a b有且只有一个平面相矛盾 因此 过a b m有且只有一个平面 准确写出反设 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么 导致反设错误 求证 a 0 b 0 c 0 的含义是 求证a b c三数都是正数 故反设应为 假设a b c中至少有一个不大于0 正解 假设a b c中至少有一个不大于0 不妨设a 0 若a0 得bc0得 b c a 0 ab bc ac a b c bc
6、0矛盾 又若a 0 则abc 0与abc 0矛盾 故 a 0 不成立 a 0 同理可证b 0 c 0 解析 假设方程x2 2x 5 p2 0有实根 则该方程的判别式 4 4 5 p2 4 p2 4 0 解得p 2或p 2 若p 2 则p 2 0 2p 10 2p 1 0 p 2 2p 1 0 与 p 2 2p 1 0矛盾 所以假设不成立 故关于x的方程x2 2x 5 p2 0无实根 分析综合法 分析法和综合法是对立统一的两种方法 一个命题用何种方法证明 要能针对具体问题进行分析 灵活地运用各种证法 当不知从何入手时 有时可以运用分析法而获得解决 特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的
7、方法 一般来说 对于较复杂的证明 直接运用综合法往往不易入手 用分析法来书写又比较麻烦 因此 通常用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明 或者在证明过程中综合法与分析法并用 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 这种边分析边综合的证明方法 称为分析综合法 或称 两头挤法 分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提 互相渗透 互相转化的辩证统一关系 分析的落点是综合的起点 综合的终点又成为进一步分析的起点 规律方法 1 利用真数与底数相同 向同底转化 2 本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零 然后利用对数性质及放缩法证明 式成立 进而说明原命题成立 前面为分析法 而中间的证明 式成立为综合法 即分析法用来转化 综合法用来证明 D D B a b不全为0
