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1、第二章 圆锥曲线与方程 2 3抛物线 2 3 2抛物线的简单几何性质 自主预习学案 1 抛物线的简单几何性质 x 0 x 0 y 0 y 0 x y 0 0 1 2 焦点弦问题如图所示 AB是抛物线y2 2px p 0 过焦点F的一条弦 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点M x0 y0 抛物线的准线为l 1 以AB为直径的圆必与准线l 2 AB x1 x2 p 3 A B两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 即x1 x2 y1 y2 相切 p2 A A A y2 12x或y2 4x 互动探究学案 命题方向1 待定系数法求抛物线的标准方程 规律方法 由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时
2、 应先确定其形式 再由条件确定待定系数 命题方向2 抛物线的焦点弦与焦半径问题 解法二 如图所示 设焦点弦AB的中点为E 分别过A E B作准线l的垂线 垂足为D H C 由抛物线定义知 AD AF BC BF 所以 AB AF BF AD BC 2 EH 由图可知 HE GF 当且仅当AB与x轴垂直时 HE GF 即 AB min 2 GF 2p 规律方法 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求解 B 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于A B两点 若线段AB的长为
3、8 求p的值 规律方法 根据条件写出直线方程 与抛物线方程联立 消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解或利用焦点弦的性质求解 命题方向3 最值问题 规律方法 与抛物线有关的最值问题 一是涉及到焦点或准线的距离 可利用抛物线的定义 即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离 构造出 两点间线段最短 或 点到直线的垂线段最短 使问题获解 二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小 常转化为函数最值求解 C 忽略集合中元素的互异性 错解分析 本题造成错解的原因有两个 一是遗漏了直线不存在斜率的情况 只考虑了斜率存在的直线 二是方程组消元后的方程认定为二次方程 事实上 当二次项系数为零的一次方程的
4、解也符合题意 y2 6x 与抛物线有关的定点 定值 最值问题 与抛物线有关的最值问题 1 最值问题求解最值问题常用方法是由条件建立目标函数 然后利用函数求最值的方法进行求解 2 常见题型及处理方法 求抛物线上一点到定直线的最小距离 可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离 再利用函数求最值的方法求解 亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时 两直线间的距离问题 求抛物线上一点到定点的最值问题 可以利用两点间的距离公式表示出所求距离 再利用函数求最值的方法求解 要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围 求抛物线弦长的最值问题可利用函数求最值的方法求解 审条件 挖掘解题信息 已知直线AB AC过定点
5、AB与AC两直线倾斜角互补 故两直线方程可用同一参数 直线AB的斜率k 来表示 第二步 建联系确定解题步骤 先设直线AB的斜率为k 用k将AB AC的方程表示出来 再由直线与抛物线交于两点 利用根与系数的关系求得B C点的坐标 然后验证kBC与k无关 第三步 规范解答 规律方法 解析几何中 常遇到定点 定值问题 解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数 将题中定值 或过定点的几何对象 用参数表示 然后说明与参数无关 常涉及方法有斜率法 方程法 向量法等 点评 自己试一下 将直线与抛物线的方程联立后消去x解答 并比较两种解法 你有什么体会 规律方法 1 求抛物线方程时 先定型 再定量 2 引进直线AB的斜率k 把 MN 表示为斜率k的函数 求最值时利用换元法最终转化为二次函数求最值 3 设而不求和分类讨论是解决此类问题的常用方法 C B B
