《2017-2018高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用新人教B必修3(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用新人教B必修3(1)（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3随机数的含义与应用 一 几何概型的定义 问题思考 1 填空 事件A理解为区域 的某一子区域A A的概率只与子区域A的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与A的位置和形状无关 满足以上条件的试验称为几何概型 2 几何概型与古典概型有何异同 提示 古典概型与几何概型都是概率类型的一种 它们的区别在于 古典概型的基本事件数为有限个 而几何概型的基本事件数为无限个 共同点在于 两个概型都必须具备等可能性 即每个结果发生的可能性都相等 判断一次试验是不是古典概型 有两个标准来衡量 一是试验结果的有限性 二是试验结果的等可能性 如果这两个标准都符合 则这次试验是古典概型 否则不是古典概型 判断一次
2、试验是不是几何概型有三个标准 一是试验结果的无限性 二是试验结果的等可能性 三是可以转化为求某个几何度量的问题 如果一次试验符合这三个标准 则这次试验是几何概型 这两种概率模型的本质区别是试验结果的个数是否有限 3 做一做 下列概率模型中 几何概型的个数为 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到1的概率 从区间 10 10 内任取出一个数 求取到绝对值不大于1的数的概率 从区间 10 10 内任取出一个整数 求取到大于1而小于2的数的概率 向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P 求点P离中心不超过1cm的概率 A 1个B 2个C 3个D 4个答案 B 二 几何概型概率公式 问题思考
3、1 填空 在几何概型中 事件A的概率定义为 其中 表示区域 的几何度量 A表示子区域A的几何度量 2 做一做 如图所示 在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形 向大正方形内随机投点 则所投的点落在小正 解析 由题意所求的概率为小正方形的面积与大正方形的面积之比 为 答案 B 三 随机数 问题思考 1 随机数主要通过什么方法产生 提示 主要是通过计算器或计算机软件来产生随机数 2 填空 随机数就是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 它有很广阔的应用 可以帮助我们安排和模拟一些试验 这样可以代替我们自己做大量重复的试验 3 做一做 将 0 1 内的均
4、匀随机数转化为 2 6 内的均匀随机数 需实施的变换为 A rand 8B rand 8 2C rand 8 2D rand 6答案 C 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状是有关的 2 概率为0的事件一定是不可能事件 概率为1的事件一定是必然事件 3 用随机模拟的方法估计概率时 其准确程度决定于产生的随机数的大小 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 例1 1 在 1 1 上随机地取一个数k 则事件 直线y kx与圆 x 5 2 y2 9相交 发生的概率为 探究一 探究二 探究三 探究四 探究
5、五 思想方法 2 某公共汽车站每隔15min有1辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 求1个乘客到达车站后候车时间大于10min的概率 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 反思感悟在求解与长度有关的几何概型时 首先找到几何区域D 这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段 然后找到事件A发生对应的区域d 在找d的过程中 确定边界点是问题的关键 但边界点是否取到却不影响事件A的概率 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 变式训练1在长为12cm的线段AB上任取一点C 若作一矩形 邻边长分别等于线段AC CB的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 解析 设其中一段AC
6、长为xcm 则另一段BC长为 12 x cm 其中0 x 12 由题意x 12 x 32 0 x 4或8 x 12 则点C的取值长度4 4 8cm 故概率为答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 例2 如图 在矩形区域ABCD的A C两点处各有一个通信基站 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF 该矩形区域内无其他信号来源 基站工作正常 若在该矩形区域内随机地选一地点 则该地点无信号的概率是 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 反思感悟解与面积有关的几何概型要注意 1 根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题 2 找出或构造出随机
7、事件对应的几何图形 利用图形的几何特征计算相关面积 3 套用公式 从而求得随机事件的概率 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 例3 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为底面ABCD的中心 在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 解析 在正方体内到底面中心O的距离小于或等于1的点在以底面中心O为球心 1为半径的半球内 含半球面 所以点P到点O的距离大于1的概率为答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 反思感悟1 如果试验的全部结果所构成的区域
8、可用体积来度量 我们要结合问题的背景 选择好观察角度 准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积 其概率的计算公式为 2 解决此类问题一定要注意几何概型的条件 并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关 不要将二者混淆 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 答案 B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 反思感悟1 若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示 则其概率计算公式为 2 解决此类问题的关键是事件A在区域内是均匀的 即基本事件的发生是等可能的 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 探究一
9、 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 例5 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分 y 2 2x x2与x轴围成的图形 的面积 思路分析 解答本题可先计算矩形的面积 再由几何概型的概率进行面积估计 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 解 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 b1 2 经过平移和伸缩变换 a 4a1 3 b 3b1 得到一组 3 1 一组 0 3 上的均匀随机数 3 统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1 满足条件b 2 2a a2的点 a b 的个数 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五
10、 思想方法 生活中的几何概型度量区域的构建 典例 甲 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 到时即可离去 求两人能会面的概率 思路导引 甲 乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻 如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达会面地点的时间 y轴表示乙到达会面地点的时间 用0分到60分表示6时到7时的时间段 则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中 任一点的坐标 x y 就表示甲 乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间 而能会面的时间由 x y 15所对应的图形区域表示 由于每人到达的时间都是随机的 所以正方形内每个点都是等可能被取到的 即基本事件
11、等可能发生 所以两人能会面的概率问题可以转化成与面积有关的几何概型问题 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 方法提炼1 将实际问题转化为几何概型中的长度 角度 面积 体积等常见几何概型的求解问题 构造出随机事件对应的几何图形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率 根据实际问题的具体情况 合理设置参数 建立适当的坐标系 在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的点 便可构造出度量区域 2 对于本题 解决的关键是把两个时间分别用x y两个坐标轴表示 构成平面内的点 x y 从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题
12、 转化成面积型几何概型问题 这种方法是解决这类问题的常用手法 不失为一种好方法 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思想方法 变式训练甲 乙两人约定上午7 00到8 00之间到某个汽车站乘车 在这段时间内有3班公共汽车 开车的时刻分别为7 20 7 40 8 00 如果他们约定 见车就乘 则甲 乙两人乘同一班车的概率为 解析 设甲到达汽车站的时刻为x 乙到达汽车站的时刻为y 则7 x 8 7 y 8 即甲 乙两人到达汽车站的时刻 x y 所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形 图略 答案 C 1 2 3 4 5 1 下面关于几何概型的说法错误的是 A 几何概型也是古典概型的一种B 几何概
13、型中事件发生的概率与位置 形状无关C 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D 几何概型中每个基本事件的发生具有等可能性解析 本题考查几何概型的概念及特征 根据几何概型的概念可作出判断 几何概型的基本事件的个数是无限的 而古典概型要求基本事件的个数为有限个 故几何概型不是古典概型 答案 A 6 1 2 3 4 5 2 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌 今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察 则发现大肠杆菌的概率为 A 0 008B 0 004C 0 002D 0 005解析 将问题转化为与体积有关的几何概型求解 概率为答案 D 6 1 2 3 4 5 解析 将问题转化为与长度有关的几何概型求解 当x0 1 2 时 f x0 0 因此答案 C 6 1 2 3 4 5 4 在圆心角为90 的扇形中 以圆心O为起点作射线OC 使得 AOC和 BOC都不小于30 的概率为 解析 作 AOE BOD 30 如图所示 随机试验中 射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上 而要使 AOC和 BOC都不小于30 记为事件A 则OC落在扇形DOE内 即 90 A 30 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
