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1、数学试卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD【答案】B:集合，集合，所以,2设曲线在处的切线方程为，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dyeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.3的展开式中的系数为（ ）ABCD【答案】D:的展开式中的系数为.4已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为()A.B.C.D.【答案】D：由题意可得：最长弦为直径：最短的弦是.则四边形ABCD的面积为.5已知，则的大小关系为（ ）AB
2、CD【答案】A，故，所以。6.已知函数，则函数的大致图像为（ ） A B C D【答案】B 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）ABCD【答案】D函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.8元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共
3、得银 A. 两B. 两C. 两D. 两【答案】C解：一秤一斤十两共120两,将这5人所得银两数量由小到大记为数列,则是公比的等比数列,于是得,解得,故得银最少的3个人一共得银数为(两9如图，平面四边形中，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A3 BC4 D解析：选A由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.10.已知为平面直角坐标系的原点，为双曲线的右焦点，为的中点，过双曲线左顶点作两渐近线的平行线分别与
4、轴交于两点，为双曲线的右顶点，若四边形的内切圆经过点，则双曲线的离心率为()AB.C.D.【答案】B作草图，易知直线BC的方程为1，圆心O到BC的距离为，2abc2，4a2(c2a2)c4，同除以a4得，e44e240，(e22)20，e22，e或(舍)，e，故选B.11.对于定义域为的函数，若满足 ； 当，且时，都有； 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”现给出四个函数：；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A.0B.1C.2D.3【答案】C因为条件，所以与同号，不符合，不是“偏对称函数”；对于；，满足，构造函数，在上递增，当，且时，都有，满足条件 ，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件，画出
5、函数的图象以及在原点处的切线，关于轴对称直线，如图，由图可知满足条件，所以知是“偏对称函数”；函数为偶函数，不符合，函数不是，“偏对称函数”.12已知函数，其中若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）ABCD【答案】C，函数在点处的切线方程为：，函数在点处的切线方程为：，两直线重合的充要条件是，由及得，故，令，则，且，设，当时，恒成立，即单调递减，时，即a的取值范围为.二、填空题13的值是_；【答案】0;复数14交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有_辆；【答案】300
6、;以下的频率为，所以汽车有.15在平行六面体中，则与所成角为_；（用弧度表示）【答案】16如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_.【答案】;设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到面积之和为：通分化简得到原式子化简为根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时抛物线方程为：.三、解答题17箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.（1）若，求的值；（2）当时，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）由题意得：取出的个球都是白球
7、时，随机变量，即：，解得：（2）由题意得：所有可能的取值为：则；.的分布列为：【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解.18已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)在中，且，求面积的最大值【答案】(1)解：.（2）由题可得，因为，所以，又，所以在中，由余弦定理可得，即所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为19如图，在三棱锥中，分别是，的中点，在上且.（I）求证：；（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS
8、为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）由SF=2FE得F(,)平面平面SBC.假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.所以设平面AFG的法向量为，则取，得即.（法一）设平面AFE的法向量为则取，得，即（法二）.所以平面AFE的法向量为：；由得二面角G-AF-E的大小为得，化简得，又，求得，于是满足条件的点G存在，且20已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由【答
9、案】（1）由已知易得，故椭圆的标准方程为：.（2）若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，在线段上，此时轴，求得，的面积等于.若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，由得，则， 的中点的坐标为，点的坐标为，将其代入椭圆方程，化简得点到直线的距离，的面积 综上可知，的面积为常数21设数列,，已知，（1)求数列的通项公式；（2)设为数列的前项和,对任意,若恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)，又，是以2为首项，为公比的等比数列，；（2），又,，两式相加即得：，,()当n为奇数时()当n为偶数时，综上，所以实数p的取值范围为【点睛】本类试题，注意看问题，一般情况，问题都会指明解题方向22.设，
10、其中求的极大值；设，若对任意的，恒成立，求的最大值；设，若对任意给定的，在区间上总存在s，使成立，求b的取值范围【答案】，当时，在递增；当时，在递减则有的极大值为；当，时，在恒成立，在递增；由，在恒成立，在递增设，原不等式等价为，即，在递减，又，在恒成立，故在递增，令，在递增，即有，即；，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减又因为，所以，函数在上的值域为由题意，当取的每一个值时，在区间上存在，与该值对应时，当时，单调递减，不合题意，当时，时，由题意，在区间上不单调，所以，当时，当时，所以，当时，由题意，只需满足以下三个条件：，使，所以成立由，所以满足，所以当b满足即时，符合题意，故b的取值范围为【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题
